Design av et tak - et motiverende eksempel

For å demonstrere de prinsipielle utfordringene ved prosjekteringsprosessen for konstruksjoner, la oss se på en typisk situasjon som eksempel:

Et flatt tak utsatt for snølast må designes.

En erfaren konstruksjonsingeniør ville fulgt en nokså standardisert prosedyre for jobben. Men la oss anta at vi gjør dette for første gang og bruker vår allerede opparbeidede ingeniørforståelse for å identifisere en systematisk tilnærming til å løse problemet.

Så, hvordan kan vi begynne? Hva ville vært det første steget?

1. Kontekst og krav: Før vi starter noen analyse, må vi avklare noen prinsipielle spørsmål angående kravene til konstruksjonen. Dimensjonene på området som skal dekkes er generelt spesifisert av kunden. For eksempel kan kunden spesifisere at takarealet skal være 20x8 kvadratmeter. Videre må kunden spesifisere hva som forventes av taket med tanke på bæreevne. Generelt forventes et (tak-)system å være:

• sikkert – det skal tåle belastningen og ikke svikte,
• tilstrekkelig stivt – dvs. at det ikke skal deformeres betydelig (da dette kan ødelegge takets funksjon),
• kostnadseffektivt.

2. Konseptuelt design: Det neste logiske steget er å utvikle et prinsippielt bærekonsept for et flatt tak. Med de spesifiserte dimensjonene ovenfor kan et mulig konstruksjonskonsept være en samling av trebjelker arrangert parallelt, som illustrert i FIGURE 6. Disse parallelle bjelkene (kalt sekundærbjelker) støttes av større kantbjelker (kalt primærbjelker).

Bæreevnen til dette konseptet er at lasten på taket overføres fra takbelegget (ikke synlig i FIGURE 6) til sekundærbjelkene, som deretter overfører lasten til primærbjelkene gjennom bjelkevirkning, som illustrert i den neste figuren. Vi vil nå fokusere på vurderingen av sekundærbjelkene. Bæreevnen til systemet med sekundærbjelker bestemmes av:

• Materialstyrken til treverket
• Avstanden mellom sekundærbjelkene (avgjør hvor mye last hver bjelke mottar), og
• Tverrsnittsdimensjonen til sekundærbjelkene, dvs. høyden \( h \) og bredden \( b \) til en bjelke med rektangulært tverrsnitt.

3. Forenklinger og antakelser: Sammenlignet med andre konstruksjoner er strukturen til et flatt tak relativt enkel, men en realistisk mekanisk representasjon av dette systemet ville allerede være komplisert fordi vi måtte representere:

• Hvordan er snøen fordelt på taket?
• Hvordan fordeles lasten blant bjelkene? (dette avhenger tydeligvis av stivheten til de forskjellige bjelkene og oppførselen til kantbjelkene ved støttene, bæreevnen til søylene, takbelegget som hviler på bjelkene, osv.)
• osv.

En realistisk representasjon av strukturelle systemer er generelt ganske vanskelig, og et viktig trinn i et konstruksjonsteknisk prosjekt er identifisering av rimelige antakelser og forenklinger. I dette eksemplet virker det rimelig å anta følgende:

• Snølasten er jevnt fordelt på takflaten,
• Bjelkene deler lasten likt,
• De tverrgående støttebjelkene og søylene anses som stive.

4. Mekanisk vurdering: Bæreevnen må vurderes. I dette eksemplet fokuserer vi på sikkerheten til taket (det skal ikke svikte) og må derfor vurdere maksimal bæreevne og sammenligne den med belastningen strukturen er utsatt for.

Bøyningskapasitet til et elastisk rektangulært tverrsnitt:

For å evaluere det maksimale momentet for et rektangulært tverrsnitt vurderer vi det maksimale indre momentet som er avhengig av den maksimale spenningskapasitet \( \sigma_{max,timber} \) til trematerialet:

Momentvirkning fra lasten: Systemet er en enkeltopplagt bjelke med jevnt fordelt last.

Maksimalt moment oppstår ved \( x=l/2 \):

I samsvar med dette vil bjelken ikke svikte dersom motstanden er større enn lastens effekt, dvs. sammenligningen av momentene er:

Ligning \(\ref{eq:deq1}\) refereres generelt til som prosjekteringsligning. Den inneholder prosjekteringsvariabler, som er variabler som kan velges eller kontrolleres under prosjekteringen. I dette eksempelet er det bredden \( b \) og høyden \( h \) på tverrsnittet som kan velges fritt, og dette valget kalles konstruksjonsdesign. Spennet til bjelken \( l \) er bestemt av kravene til rommet (kunden ønsket et tak med spesifikke dimensjoner, her et område på 20 x 8 meter, slik at \( l \) blir 8 meter). Lasten \( q_s=a*s \) (\( a=2\:m \)) og materialstyrken \( \sigma_{max,timber} \) er variabler som må kvantifiseres.

For gitt \( b= \) 300 mm er den nødvendige \( h \) plottet som en funksjon av snølasten \( s \) og materialstyrken \( \sigma_{max,timber} \):

Men hvordan kvantifiserer vi snølasten og trevirkets styrke?

Snølast

Den relevante snølasten for prosjektering er den maksimale snølasten i konstruksjonens tiltenkte levetid. En typisk tidsperiode for bygninger er 50 år, dvs. vi er interessert i den ekstreme snølasten i en periode på 50 år. Siden snølasten vil variere over tid og fremtidige snølaster ikke kan forutsies med sikkerhet, må snølasten – som andre typer laster – representeres med tilfeldige variabler som spesifiseres basert på måledata.

Snølasten er også svært avhengig av den geografiske plasseringen og høyden over havet til byggeplassen. I FIGURE (12) illustreres den geografiske fordelingen av snølasten med en gjennomsnittlig returperiode på 50 år. Denne verdien omtales også som den karakteristiske verdien av snølasten. Dette kartet er en del av det nasjonale tillegget til Eurokode EN1991 for snølaster.

Fra kartet og tilhørende tabeller kan en verdi på \( s_k=3.25 kN/m^2 \) for Trondheim identifiseres.

Trevirkets styrke

Egenskapene til heltre beskrives som bæreevne-egenskapene til heltre-komponenter utsatt for forskjellige lastmoduser, se FIGURE (13). Følgelig kommuniseres styrken og stivheten til konstruksjonstømmer som egenskaper målt i standardiserte forsøk, dvs. med standardiserte dimensjoner, lastmoduser, varighet og omgivelsesklima.

Konstruksjonstømmer klassifiseres vanligvis i bestemte kvalitets- eller styrkeklasser. I Europa defineres styrkeklasser som underpopulasjoner med forventede verdier for 5-prosentilen av bøyestyrken og tettheten til treverket, samt forventede verdier for gjennomsnittsverdien av bøyestivheten. Egenskaper for andre lastmoduser per styrkeklasse gis også, se FIGURE (14). (De nevnte materialegenskapene er definert som egenskaper for standard testprøver i henhold til relevante teststandarder).

For den svært vanlige styrkeklassen C24 kan en bøyestyrke på \( \sigma_{max,timber}=f_{m,k}= \) 24 MPa spesifiseres.

Sannsynlighetsfordeling?

Vi kan allerede gjette oss til dette: Materialstyrken og snølasten er usikre – dvs. de kan ikke spesifiseres entydig. Det vi kan spesifisere, er med hvilken sannsynlighet en spesifikk verdi overskrides eller ikke. Funksjonen som representerer denne sannsynligheten kalles sannsynlighetsfordelingsfunksjon. Sannsynlighetsfordelingsfunksjonen er definert over det mulige domenet til variabelen \( X \) (dette er en tilfeldig variabel og indikeres med en stor bokstav) og antas å ha verdier \( x \) (eller realisasjoner – indikert med liten bokstav). FIGURE (15) viser en sannsynlighetsfordelingsfunksjon \( F_X(x) \) og såkalte fraktilverdier. 5%-fraktilen er verdien med en ikke-overskridelses-sannsynlighet på 0,05 eller 5 %, dvs. \( F_X(x)=Pr(X < x)=0.05 \). Den karakteristiske verdien av snølasten er definert som 98%-fraktilen av fordelingen av årlige ekstremverdier.

Det kan sees at de karakteristiske verdiene for materialstyrken og lasten er valgt som henholdsvis en nedre og en øvre fraktil. Men er dette en tilstrekkelig sikker antakelse?

Vi vil følge opp dette spørsmålet videre i kurset – men først skal vi starte med introduksjonen av prinsipielle konstruksjonssystemer og konsepter i neste forelesning.

Læringsmål for i dag:

• Få oversikt over prinsipielle konstruksjonselementer og deres funksjon
• Introduksjon til typiske konstruksjonssystemer
• Knytte til konstruksjonsmekanikk
• Kvalitative lasteeffekter på konstruksjoner

Lese-/hjemmelekse:

• Les gjennom forelesningsnotatene som er distribuert på BlackBoard
• Gå gjennom eksemplene fra forelesningen
• Per Kr. Larsen - Konstruksjonsteknikk: Kapittel 3

Konstruksjoner

En konstruksjon er en ordning og organisering av sammenhengende elementer i et materiell objekt eller system, eller objektet eller systemet slik det er organisert. --- Oxford English Dictionary (Online utg.). Hentet 1. oktober 2015.

I konteksten av det bygde miljøet forstås konstruksjoner som en sammensetning av komponenter eller elementer med hensikt å bære laster. Hovedhensikten med lastbæring – og dermed med konstruksjoner – er å støtte samfunnsaktiviteter, som å tilby husly, transport, energiproduksjon osv.

Avhengig av formålet for lastbæring har det blitt utviklet noen prinsipielle konstruksjonselementer med fordelaktig og spesialisert lastbærende oppførsel. En oppsummering finner du nedenfor.

Prinsipielle konstruksjonselementer

Prinsipielle konstruksjonselementer blir introdusert, og deres prinsipielle lastbærende oppførsel blir forklart. Eksempler på implementering med forskjellige materialer blir gitt.

Stav

Det sannsynlig enkleste konstruksjonselementet er staven. Den kjennetegnes ved sin relative slankhet (slankhet), altså at én dimensjon er betydelig større enn de andre. På grunn av denne slankheten fungerer staven best når den belastes aksialt i strekk. Staver er ofte laget av stål, men kan også lages i tre eller armert betong.

Lastbærende oppførsel:

Den lastbærende motstanden \( R \) i \( [N] \) for en stav kan beregnes som:

hvor \( f \) er materialets bruddspenning i \( [N/mm^2] \), og \( A \) er tverrsnittsarealet i \( [mm^2] \).

Søyle

En søyle er et konstruksjonselement som hovedsakelig overfører laster ved å fungere i trykk. For eksempel kan en søyle overføre laster fra en bjelke, plate eller et tak til et fundament.

Akkurat som staver er søyler generelt slanke, men den lastbærende kapasiteten reduseres ikke-lineært med økende slankhet. Denne effekten kan illustreres med følgende skisse. Momentet i understøttelsen er \( M=V \cdot L \) med utgangspunkt i en ikke-utbøyd tilstand. På grunn av momentet vil søylen imidlertid bøye seg. Momentet øker faktisk til \( M=V \cdot L + P \cdot \Delta \). Lasteffekten (momentet) øker progresivt med økende \( P \). Dette kalles \( P-\Delta \)-effekten. Lasteffekten avhenger også av den laterale stivheten, altså slankheten til søylen.

En informativ video viser en laboratorietest av en slank søyle. Den er levert av Imperial College, London:

Slankheten (slankhet) er definert som:

hvor \( L_k \) er knekklengden (knekklengde), \( I \) er treghetsmomentet, og \( A \) er tverrsnittsarealet.

Det sies at \( P-\Delta \)-effekten er mer uttalt ved lav slankhet. For en gitt knekklengde \( L_k \) reduseres slankheten når \( I \) øker i forhold til \( A \). Tverrsnittsgeometrien til søyler velges derfor slik at \( I/A \) blir så stort som mulig.

Bjelke

En bjelke er et konstruksjonselement som primært motstår laster som påføres lateralt i forhold til bjelkens akse, noe som resulterer i reaksjonskrefter ved bjelkens støttepunkter. Skjærkrefter, bøyemomenter og eventuelt normalkrefter er de tilsvarende lasteeffektene i bjelken.

For mer innsikt i de grunnleggende prinsippene for bjelker i bøyning, se denne videoen av Dr. G. Wayne Brodland fra University of Waterloo:

I et konstruksjonssystem overfører bjelker laster langs sin lengde til sine endepunkter, hvor lastene overføres til andre bjelker, vegger, søyler osv.

Bjelker kan være laget av tre, stål eller betong, eller de kan være sammensatte konstruksjoner.

En rekke tverrsnittsformer er tilgjengelige, inkludert: firkantet, rektangulært, sirkulært, I-formet, T-formet, H-formet, C-formet, rørformet osv. Tverrsnittsformene velges slik at de har et stort seksjonsmodul.

Bjelker kan være rette, buede eller avsmalnende.

Kabler

Akkurat som staver er kabler ment å bære strekkrefter, men i tillegg har kabler en relativt høy fleksibilitet i bøyning og skjær, slik at de kan brukes svært effektivt til store og lette konstruksjoner. Konstruksjoner med kabler inkluderer hengebroer, kabelfestede tak og såkalte "sykkelhjultak". Konstruksjonskabler er hovedsakelig laget av høyfast stål, og strekkapasiteten er svært høy – så høy at det alltid er en teknisk utfordring å forankre disse høye kreftene ved kabelendene. Når tverrlaster introduseres, for eksempel ved klemmer (se ovenfor), tilpasser kabelen formen sin. Dette prinsippet utnyttes for eksempel i hengebroer, der store hengende kabler bærer imponerende store spenn.

For hengebroer finnes det et interessant forhold mellom tårnhøyde og kabelkraft, som illustreres med eksempelet fra "Golden Gate"-broen: "https://www.goldengate.org/exhibits/suspension-cable-tension-vs-tower-height/".

For mer innsikt i de grunnleggende prinsippene for hengebroer, se denne interessante videoen av Dr. G. Wayne Brodland fra University of Waterloo:

En fritt hengende kabel (eller kjede) må bære sin egenvekt, og formen følger den såkalte katenarien, som matematisk beskrives av:

En kabel som betraktes som vektløs, men som bærer en horisontalt uniformt fordelt last som for eksempel brodekket til Golden Gate-broen, vil følge en parabelform:

(Bilde av Billy Hathorn - CC BY 3.0).

Bue

En bue er en vertikal, buet struktur som spenner mellom støttepunkter og bærer sin egen vekt samt vekten over den. I en bue blir tverrlast hovedsakelig eller helt omgjort til trykkspenninger, noe som ofte omtales som buevirkning. Buevirkningsprinsippet er illustrert i figuren – ved å følge riktig form er det mulig å skape rene trykkspenninger i buen.

For mer innsikt i de grunnleggende prinsippene for buer, se denne interessante videoen av Dr. G. Wayne Brodland fra University of Waterloo:

Buevirkningseffekten muliggjorde bygging av store spenn ved bruk av enkle byggematerialer som stein og murstein, som kun fungerer i trykk. Dette er grunnen til at buer er et dominerende byggprinsipp for spenn i historiske konstruksjoner.

Prinsippet om buevirkning brukes også til å skape spenn i to dimensjoner, og dette kalles hvelv (hvelv).

Buevirkningen har også en "sideeffekt" som er viktig å ta hensyn til. Når kreftene på buen overføres til bakken, utvikles det en horisontal kraft som, hvis den ikke begrenses, vil presse buen utover ved basen. Dette kalles trykkraft. Jo lavere stigning eller høyde på buen, desto større blir trykkraften (merk at dette er en av grunnene til de flere "etasjene" på Pont du Gard, se bildet over). Trykkraften begrenses for eksempel av interne stag eller eksterne støttekonstruksjoner, som avsatser.

For mer innsikt i hvordan katedraler fungerer, se denne interessante videoen av Dr. G. Wayne Brodland fra University of Waterloo:

Kuppel

En kuppel er en punkt-symmetrisk struktur, og kuppelvirkningen er sammenlignbar med buevirkningen – den overfører lastene utover ved å holde de interne kreftene hovedsakelig i trykk. Kuppelen kan være selvbegrensende hvis tangensielle strekkrefter kan bæres ved kuppelens nederste kant, dvs. at kanten vanligvis forsterkes med en såkalt ringbjelke.

Hvis geometrien blir friere, men prinsippet med å overføre laterale laster hovedsakelig gjennom trykkaksjon beholdes, kalles strukturen skallkonstruksjon. Tynne friformede konstruksjoner som hovedsakelig virker i strekk, kalles membrankonstruksjoner. Begge typer strukturer utnytter såkalt membranvirkning som oppstår ved samspill av krefter i planet.

For mer innsikt i hvordan kupler fungerer, se denne interessante videoen av Dr. G. Wayne Brodland fra University of Waterloo. Denne videoen er også svært nyttig hvis du vil bygge en iglo.

Fagverk

En veldig viktig konstruksjonstype er fagverket, som i bunn og grunn er et plant eller tredimensjonalt system av triangulære sammenstillinger av staver.

Et fagverk har mange fordeler; det er lett og overfører laster svært effektivt langs stavenes lengderetning. Den overordnede formen på fagverk kan alltid relateres til grunnleggende bygningsdeler som bjelker (se fagverksbroen over), søyler og buer.

En annen fascinerende kuppel-/fagverksstruktur er Sports Hub i Singapore.

Det finnes også en veldig lærerik video på nettet. Siden den er koblet til kommersielle klipp, legger jeg den kun til som en ekstern LINK.. Det anbefales å ignorere reklamen!

Skiver og Plater

(Skive / Plate)

En skive er et plant element der én dimensjon er betydelig mindre enn de to andre. Den brukes enten vertikalt (som vegg) eller horisontalt (som tak eller gulv). En veggskive er hovedsakelig belastet i planet med skjær- og trykkrefter. En horisontal skive er belastet lateralt og ofte også i skjær.

En veldig fin modell for å utforske bøyemotstanden til lateralt belastede plater er introdusert av Dr. G. Wayne Brodland fra University of Waterloo.

Forbindelser og Opplager

(Sammenføyninger og støtter)

Strukturelle komponenter settes sammen til strukturelle systemer for å skape volum og rom. Dermed må laster overføres til opplagrene og til slutt til bakken via flere sammenføyninger mellom komponentene. Det skilles generelt mellom forskjellige hovedtyper av sammenføyninger og opplager, avhengig av hvilke typer krefter de kan overføre.

Disse hovedtypene av sammenføyninger og opplager brukes i mekaniske beregninger. Det er interessant og noen ganger overraskende hvordan disse prinsippene ser ut i virkelige konstruksjoner.

Fundamenter

(Fundamenter)

Fundamenter er den svært viktige forlengelsen av strukturelle systemer mot bakken. Videre diskusjoner om fundamenter ligger utenfor omfanget av denne forelesningen, og det vises til tilsvarende forelesninger i geoteknikk for mer innsikt.

Anbefalte didaktiske videoer:

• Utforsk hydrostatisk trykk
• Hvordan fungerer siloer og tanker?
• Dammer

Dagens læringsmål:

• Kunne kvalifisere prinsipielle lasteeffekter i konstruksjoner
• Forstå vertikal og horisontal lastbæring i bygninger
• Øvelser på lasteeffekter i konstruksjoner

Leselekse / Hjemmearbeid:

• Kompendium: Forelesning 4 (og 1 + 2 + 3 hvis ikke fullført)
• Per Kr. Larsen - Konstruksjonsteknikk: Kapitler 3 + 4
• 1. obligatorisk oppgave

--------------

--------------

Prinsipiell lastbærende oppførsel av konstruksjonselementer og systemer

Grunnleggende prinsipper

Lastbærende oppførsel av konstruksjonselementer og systemer avhenger av:

• De geometriske proporsjonene til konstruksjonen
• Plasseringen og oppstivingen av støtter og forbindelser
• Størrelsen og den romlige fordelingen av laster
• Stivheten til konstruksjonen

Det er viktig å merke seg at de to første aspektene kan kontrolleres ganske godt gjennom konstruksjonsdesign. Størrelsen og den romlige fordelingen av laster er derimot vanligvis ikke kjent på forhånd og kan også endre seg over tid. Dette innebærer at alle antakelser er forbundet med store usikkerheter. Usikkerhetene knyttet til tidsvariasjon tas vanligvis eksplisitt i betraktning, og dette vil vi diskutere nærmere senere i forelesningen. Usikkerhetene om den romlige fordelingen av laster håndteres ofte gjennom konservative forenklinger, altså en verst tenkelig plassering av lastene. Dette introduserer en betydelig skjevhet i den mekaniske vurderingen.

Lastbærende oppførsel vurderes ut fra konstruksjonens respons på laster, som grunnleggende kan uttrykkes i spenninger og tøyninger. Det er praktisk å innføre et mellomnivå kalt lasteeffekter, som kan være aksialkrefter, skjærkrefter, momenter og deformasjoner.

Analysen av lastbærende oppførsel kan bli kompleks og krevende, spesielt for kompliserte konstruksjoner, eller når høy nøyaktighet (en svært realistisk representasjon) er nødvendig. Mer komplekse analyser utføres ofte ved hjelp av numeriske metoder og dataprogrammer, og dette tilhører domene til spesialiserte konstruksjonsingeniører. For enklere problemer er anvendelsen av noen enkle prinsipper generelt tilstrekkelig. Selv for mer komplekse problemer gir bruken av disse prinsippene viktig innsikt i forholdene og størrelsene til lasteeffektene, og de bør alltid brukes til feilsjekk av dataprogrammenes utdata.

Det er viktig at hver sivilingeniør utvikler en grunnleggende forståelse for anvendelsen av disse enkle prinsippene på konstruksjoner. Evnen til å foreta grove vurderinger av hovedfunksjonaliteten og størrelsesordenen til krefter og spenninger for kvalitetssjekk eller konseptuelt design er viktig, ikke bare for spesialiserte konstruksjonsingeniører.

-------------

For statisk bestemte konstruksjoner brukes prinsippet om likevekt til å kvalifisere og kvantifisere interne og eksterne responser på krefter, altså:

• Reaksjonskreftene ved støttene.
• De interne kreftene (og momentene) ved ethvert vilkårlig segment av konstruksjonen.

En veldig god video om likevekt er laget av Dr. G. Wayne Brodland fra University of Waterloo:

Moment- og skjærkraftfordeling

Videre oppgaver

Vertikal og horisontal lastbæring i bygninger

En bygning er en konstruksjon med vegger, gulv og tak som gir ly til menneskelig aktivitet, som for eksempel overnatting, utdanning, produksjon osv. Det finnes et stort mangfold av bygninger, og generelt inkluderer bygninger noen tekniske installasjoner.

Det skilles ofte mellom den bærende og ikke-bærende delen av en bygning. I denne delen av kurset ser vi på den bærende delen, og nesten alle prinsipielle konstruksjonselementer introdusert i forelesning 2 er representert i bygninger. De mest relevante er:

• Plater (som vegger, gulv, tak eller himlinger)
• Søyler
• Bjelker
• Staver (hovedsakelig for avstiving)

Bygninger utsettes for vertikale laster og horisontale laster. Horisontale laster induseres for eksempel av vindtrykk eller jordskjelv. Vertikale laster domineres av tyngdekraften, men vindtrykk kan også forårsake vertikale laster.

Vertikal lastbæring

Vertikale laster i bygninger domineres av tyngdekraften som:

• Laster fra egenvekt av bærende og ikke-bærende deler av bygningen
• Laster fra stasjonære eller bevegelige installasjoner eller møbler, og laster fra mennesker – disse kalles generelt nyttelaster
• Snølaster
• osv.

Den vertikale lastoverføringen bør være så enkel som mulig. Enhver åpning eller avbrudd i den modulære og rektangulære formen fører til ekstra belastning på enkeltelementer.

Akkumuleringen av vertikale laster er avgjørende for høyhus, da store laster krever høy bæreevne, dvs. store tverrsnitt for de lastbærende elementene. De første høyhusene ble bygget i mur, og her var dimensjonene på de nederste veggene og søylene en begrensende faktor. I de laveste etasjene var åpninger sjeldne, og veggtykkelsen var enorm. Et godt eksempel på dette er Monadnock Building fra 1893.

Introduksjonen av sterkere materialer, som stål og armert betong, gjorde det mulig å bygge høyere bygninger. (Se den interessante artikkelen om history of tall buildings).

Store tverrsnitt begrenser mulighetene for åpninger (f.eks. vinduer og innganger) i en bygning, noe som kan være ugunstig – spesielt for de nederste etasjene i kommersielle og representative bygninger. En interessant løsning på dette problemet presenteres i bildet nedenfor.

Strategien for vertikal lastbæring påvirker også størrelsen på de vertikale lastene. I figuren nedenfor er fire alternative strategier for en 18 meter bred bygning illustrert med tilhørende egenvekt for gulvene. Hvorfor blir gulvvekten større fra venstre mot høyre?

Horisontal lastbæring

Bygninger utsettes også for horisontale laster. Typiske horisontale laster som må vurderes i utformingen av bygninger, er vindtrykk og jordskjelv. Vindtrykk gir en distribuert lastkonfigurasjon hvor størrelsen øker logaritmisk med høyden. Jordskjelv forårsaker vibrasjon i bygningens fundament, som resulterer i komplekse dynamiske laster på konstruksjonen.

Lasteffektene forårsaket av horisontale laster i bygninger kan forstås analogt med laster i et utkraget bjelkesystem. Utkrageren i figuren nedenfor reagerer på den påførte horisontale lasten med bøyning og skjærkrefter. I en bygning tilsvarer dette strekk i søylene på siden der trykket påføres, og trykk i søylene på motsatt side. (Merk at lasteeffektene som vises, kun gjelder horisontale laster. Kombinert med vertikale laster (ved superposisjon), vil det normalt ikke være strekk i sidesøylene.)

Flere konstruksjonsstrategier har blitt utviklet for effektiv horisontal lastbæring.

Horisontale laster overføres via vertikale og horisontale skjæreelementer. Stivheten må vurderes i tre dimensjoner for å sikre stabilitet.

Krav til stabilitet er oppsummert i følgende regler:

• Minst tre “skjærvegger”
• Minst to forskjellige orienteringer av “skjærveggene”
• Minst to kryssende skjærveggretninger

Den stive kjerne-løsningen fungerer godt for både vertikale og horisontale laster. En stiv kjerne er vanligvis laget av betong.

De horisontale lastene overføres til kjernen, som fører lastene til bakken gjennom bøyning og/eller torsjon. Merk at torsjonsstivheten reduseres av åpninger. Vertikale elementer som ikke er en del av kjernen, bærer vanligvis bare normalkrefter.

Den stive kjernen fungerer best hvis den plasseres sentralt. Av arkitektoniske årsaker er dette imidlertid ikke alltid valgt. Hvis kjernen plasseres i periferien, kan store horisontale bevegelser oppstå. Dette kan korrigeres med en ekstra skjærvegg plassert langt unna kjernen (blå).

Den horisontale stivheten, spesielt i høyere bygninger, bør være så jevn som mulig. Svake etasjer vil føre til dårlig konstruksjonsoppførsel.

Dagens læringsmål:

• Utvikle en grunnleggende forståelse av laster på konstruksjoner generelt
• Forstå tidsvariasjon og returperioder for ekstreme hendelser
• Kvantifisere snølaster på konstruksjoner

Leselekse / Hjemmearbeid:

• Per Kr. Larsen - Konstruksjonsteknikk: Kapitler 3.3 + 3.5
• Designers' Guide to Eurocode 1
• NS-EN 1990:2002 Basis for design
• NS-EN 1991-1-3:2003 Snø

--------------

Introduksjon

Laster kan generelt kategoriseres som:

• Permanente eller variable
• Direkte eller indirekte
• Faste eller frie
• Statisk eller dynamisk

(sammenlign også paragraf 4.1.1(4)P og 1.5.3.3 i EN 1990)

Laster virker på konstruksjoner som arealkrefter \( [N/m^2] \), men de representeres ofte som linjekrefter \( [N/m] \) eller punktkrefter \( [N] \).

I bygg- og anleggskonstruksjoner er handlinger knyttet til større usikkerheter enn motstanden. Laster er usikre på grunn av:

• Tilfeldige variasjoner i tid og rom.
• Modellering: Hvordan et fysisk fenomen, som vindlast, blir representert som en forenklet matematisk uttrykk, introduserer store usikkerheter.
• Statistiske usikkerheter.

Laster skyldes ofte tyngdekraft, dvs. vekten av materie. Eksempler på tyngdekraftlaster er:

• Egenvekt
• Snølast
• Vekt av møbler og installasjoner i bygninger
• Personer eller maskiner.

Viktige laster som ikke stammer fra tyngdekraft er vindlaster eller jordskjelvlaster.

Til tross for de store usikkerhetene og variasjonene som er knyttet til kvantifisering av laster, representeres laster i konstruksjonsstandarder som Eurokoden med enkeltverdier, de såkalte karakteristiske verdiene. Definisjonen av karakteristiske verdier er spesifisert i standardene – i Eurokodene representeres laster som følger:

• Permanente laster representeres med gjennomsnittsverdier.
• Tidsvariable laster representeres med ekstremverdien for en forventet returperiode på 50 år (98 %-fraktil av den årlige ekstremverdifordelingen).

Representasjon av tidsvariable laster

En tidsvariabel last er en last som endrer størrelse diskret eller kontinuerlig over tid. En realisering på et gitt tidspunkt kan generelt ikke forutsies med sikkerhet, men variabiliteten kan uttrykkes, vanligvis som en stokastisk prosess. Stokastiske prosesser kan karakteriseres ved gjennomsnitt, standardavvik og autokorrelasjon. For konstruksjonsformål er det ofte tilstrekkelig å representere stokastiske prosesser ved deres tilsvarende ekstremverdifordelinger. Ekstremverdiene defineres som fordelingen av maksimums- eller minimumsverdier observert (eller forventet) i perioder av spesifisert lik varighet.

For eksempel, hvis perioden er ett år, vil en observasjonsperiode på 50 år inneholde 50 observasjoner av årlige maksimumsverdier. Slike data kan brukes til å finne en fordeling som representerer fremtidige årlige ekstremverdier under følgende kritiske forutsetninger:

• Referanseperioden er lang nok til at enkeltobservasjoner av ekstremer kan anses som uavhengige. (Dette er åpenbart ikke tilfelle hvis en periode kortere enn ett år velges for klimatiske handlinger.)
• Den stokastiske prosessen er ergodisk – dette betyr i grove trekk at de statistiske egenskapene forblir de samme over tid.

Den første antakelsen er gyldig hvis referanseperioden velges med omhu. For klimatiske handlinger som snø og vind antas det generelt at ett år er tilstrekkelig. For nyttelaster, som inkluderer møbler i bygninger, er ett år derimot ofte for kort, og lengre referanseperioder, som 5 år, brukes vanligvis.

Den andre forutsetningen er mer kritisk av åpenbare grunner:

Som tidligere nevnt, defineres den karakteristiske verdien av en variabel last som 98 %-fraktilen av den årlige ekstremverdifordelingen. Verdiene avhenger av den geografiske regionen for klimatiske handlinger som snø eller vind, og av bruken av bygningen for nyttelaster. Verdier gis i tabeller i Eurokodene for forskjellige geografiske regioner og ulike bygningstyper. Verdiene identifiseres basert på observasjoner og tilsvarende ekstremverdistatistikk.

---

I Figur 83 vises registreringen av vindhastighetsdata fra "Fish Creek". Et årlig mønster med større verdier i vintersesongen kan identifiseres. Hvert årlige maksimum kan også sees – disse verdiene danner grunnlaget for etableringen av en årlig ekstremverdifordeling.

Ekstremverdifordelingen avhenger av den spesifiserte referanseperioden. I lengre perioder er det mer sannsynlig å observere større verdier. Dette fenomenet kan sees i Figur 84.

Tidsavhengighet

Gitt at ekstremverdiene i en periode \( T \) av en ergodisk stokastisk prosess \( X(t) \) er uavhengige og følger sannsynlighetsfordelingen \( F_{X,T}^{max}(x) \), vil ekstremverdiene av samme prosess innenfor perioden \( n\cdot T \) følge en fordeling:

Effekten kan tydelig sees i Figur 85.

Karakteristisk verdi

Den karakteristiske verdien for tidsvariable laster \( x_k \) er definert som 98 %-fraktilen av den årlige ekstremverdifordelingen, noe som betyr at denne verdien har en årlig sannsynlighet for ikke-overskridelse på \( 0.98 \), eller en årlig sannsynlighet for overskridelse på \( 0.02 \), tilsvarende:

Dermed er sannsynligheten for å observere en verdi større enn \( x_k \) $0.02$ per år, og sannsynligheten for å observere en maksimumsverdi mindre enn \( x_k \) per år er \( 0.98 \). Sannsynligheten for å observere en maksimumsverdi over to år som er mindre enn \( x_k \) er \( 0.98 \cdot 0.98 = 0.9604 \) (toårs sannsynligheten for overskridelse av \( x_k \) er da \( 1-0.9604=0.0396 \)).

Når referanseperioden utvides til \( n \) år, er sannsynligheten for ikke-overskridelse \( 0.98^n \), og sannsynligheten for overskridelse \( 1-0.98^n \) tilsvarende.

Returperiode

Returperioden er et frekvensmål som ofte brukes for å uttrykke sannsynligheten for en hendelse. Som navnet antyder, spesifiserer returperioden den forventede ventetiden mellom (returen av) en hendelse. En hendelse kan defineres som overskridelsen av den karakteristiske verdien som beskrevet ovenfor. Eller omvendt: Hvor ofte vil vi observere en hendelse med en årlig sannsynlighet på \( 1-F_{X,T=1}^{max}(x_k)=0.02 \)?

Den tilsvarende returperioden er:

--------------

Snølast

Introduksjon

I Sentral- og Nord-Europa er snølast ofte den dominerende lasten på bygningstak. Å modellere snølast på en realistisk måte er en komplisert oppgave. Snøfall er et komplekst fenomen som påvirkes av mange parametere. I tillegg blir snølastmønsteret på et tak omfordelt på grunn av faktorer som takets helling eller vind. Heldigvis er det verken nødvendig eller hensiktsmessig å fokusere på for mange detaljer ved prosjektering av bygninger og andre konstruksjoner. Vi er i stedet mer interessert i å identifisere ekstreme lasteeffekter. Konstruksjonsstandarder som Eurokoden angir (i form av tabeller i de nasjonale tilleggene) de karakteristiske verdiene for snølast på bakken for forskjellige geografiske steder. Disse verdiene endres deretter med faktorer som tar hensyn til noen av de mest relevante påvirkningsfaktorene for å beregne den karakteristiske snølasten på bygninger.

Snølast på bakken

Beregningen av snølast på en konstruksjon tar utgangspunkt i snølasten på bakken. Symbol: \( s_{k,0} \). Det uttrykkes i \( \text{kN/m}^2 \). Snølasten på bakken er basert på innsamlede data. Den typiske observasjonsperioden er 100 år. \( s_{k,0} \) er angitt i det nasjonale tillegget (NA) for ulike geografiske regioner. Den karakteristiske verdien representerer 98 %-fraktilen av den årlige ekstremverdifordelingen (50 års returperiode). 98 %-fraktilverdien beregnes ofte ved å anta en Gumbel Type I minste kvadraters tilpasning av de observerte dataene. Dette vises i Figur 87.

Høydekorrigering

Snøfall øker vanligvis med høyden over havet. I det norske nasjonale tillegget i Eurokoden gis følgende lineære skalering for å estimere snølasten på en bestemt høyde:

Merk at \( n \) alltid avrundes opp til nærmeste heltall. Skaleringen brukes for \( H > H_g \). \( H_g \) er referansehøyden opp til hvor \( s_{k,0} \) kan brukes som den karakteristiske verdien for snø på bakken ved bygningens plassering. \( s_k \) toppes noen ganger med en maksimumsverdi \( s_{k,maks} \).

Alle disse verdiene er tabellført i Eurokodene for ulike geografiske regioner – i Norge fordelt på kommuner.

Snølast på bygninger

Snø kan legge seg på tak i mange forskjellige mønstre. Mønsteret avhenger av vindeksponering, men også av:

• Takets form
• Termiske egenskaper
• Overflateruhet
• Omgivende terreng og bygninger

Eurokoden EN1991 gir følgende forenklede formel for å ta hensyn til disse faktorene:

Hvor:

• \( s_k \): Karakteristisk snølast på bakken.
• \( \mu_i \): Snøformkoeffisient. Denne avhenger av takets helling, se Figur 92. Denne faktoren utdypes nærmere nedenfor.
• \( C_e \): Eksponeringskoeffisient. Denne koeffisienten avhenger av den omkringliggende topografien og tar hensyn til snø som fortrenges av vind. Topografien deles inn i tre kategorier: (a) Vindswept; (b) Normal; (c) Skjermet. Det kreves også vurdering av fremtidig utvikling i området der konstruksjonen skal oppføres.
• \( C_t \): Termisk koeffisient. Denne settes ofte til 1 som en konservativ antakelse. Den tar hensyn til snø som kan smelte på grunn av varme som overføres fra bygningen.

Snø fordeler seg forskjellig avhengig av takets form. Generelt skilles det mellom udriftet og driftet snø. Udiftet beskriver situasjonen der snø er jevnt fordelt på taket, kun påvirket av gravitasjonens effekt på snøens omfordeling. Driftet beskriver situasjonen der snø transporteres fra ett sted til et annet, for eksempel på grunn av vind.

Enkelt hellende tak

For enkelt hellende tak skilles det ikke mellom driftet og udriftet snø. Mønsteret vises i Figur 93.

Dobbelt hellende tak

For dobbelt hellende tak skilles det mellom driftet og udriftet. Mønsteret vises i Figur 94.

Flerspennede tak

To situasjoner vurderes for flerspennede tak, se Figur 95. Merk at for V-formede tak gjelder koeffisienten \( \mu_2(\bar{\alpha}) \), hvor \( \bar{\alpha} \) er gjennomsnittsvinkelen mellom de to tilstøtende hellende takene.

Tak nær og inntil høyere konstruksjoner (driftet tilfelle)

Snø kan drive fra et tilstøtende høyere tak. Snøakkumuleringen på det lavere taket anses å være et resultat av snø som glir og vind:

Snø som glir fra det øvre taket, \( \mu_s(\alpha) \) (se Clause 5.3.6 i EN1991-1-3). Akkumulering indusert av vind, \( \mu_w \):

Hvor \( \gamma \) er snøens vekt-tetthet. Det kan antas å være \( 2\text{kN/m}^3 \). Lengden \( l_s \) kan estimeres som \( l_s = 2h \). Begrensninger er dekket i det nasjonale tillegget.

Vindlaster

Introduksjon

Vind forstås generelt som bevegelse av luft i atmosfæren. Vind oppstår som følge av:

• Store atmosfæriske sirkulasjoner forårsaket av ulik oppvarming ved ekvator og polområdene.
• Mer lokale fenomener på grunn av tilsvarende lokale temperaturgradienter, spesielt ved grenseflater mellom store land- og vannmasser eller i fjellområder.
• Den fysiske formen på overflaten i forskjellige skalaer, fra hav, innsjøer, sletter, fjellkjeder og daler, til terrengruhet og bygninger.

Vind blir ofte referert til etter styrke (hastighet) og retningen vinden blåser fra. Vindhastigheten ved et punkt på jordens overflate er svært tidsvarierende. Korte støt på noen få sekunder kalles vindkast, mellomlange perioder (rundt ett minutt) med høy vindhastighet kalles byger. Mellomlange til lange vindhendelser kalles, avhengig av gjennomsnittsstyrke, bris, kuling, storm. Svært sterke stormer av katastrofal intensitet kalles generelt sykloner, men også orkaner eller tyfoner.

Se på værutviklingen over tid (bare spill av videoen). Klare mønstre er synlige sammen med en sterk tilfeldig/kaotisk komponent.

En interessant video som illustrerer effekten av terrenget på lokale vindfenomener.

Definisjon og karakterisering av vind som strukturell last

For å karakterisere relevant vindlasteffekt på konstruksjoner er vindhastigheten bare en av mange relevante faktorer. Terrengets form og ruhet er viktig, da dette kan forstyrre den laminære luftstrømmen. Formen på konstruksjonen, som fungerer som en hindring i vindstrømmen, bestemmer trykket vinden induserer på strukturen. Trykkmønsteret på strukturens overflate må deretter overføres til en strukturell respons som enten regnes som statisk eller dynamisk. En skjematisk fremstilling av vindlastmodellering vises i Figur 99.

Vindhastighet

I Eurokodene (EN1991-1-4) er forskjellige geografiske steder knyttet til en tilsvarende referansevindhastighet, \( v_{b,0} \), definert som:

Referansevindhastighetene er tabellført i det nasjonale tillegget til EN1991-1-4, for eksempel noen verdier for Norge:

Grunnvindhastighet: Grunnvindhastigheten \( v_b \) beregnes basert på referansevindhastigheten \( v_{b,0} \) som:

\( c_{dir} \) er en mulig korrekturfaktor for vindretning, \( c_{season} \) er en korrekturfaktor for ulike årstider, og \( c_{prob} \) er en korrekturfaktor hvis en annen dimensjoneringsperiode enn 50 år brukes i designgrunnlaget for den aktuelle konstruksjonen. Standardverdien for alle korrekturfaktorer er 1,0, og denne verdien skal brukes med mindre svært gode argumenter kan gis for å endre standardverdien.

Vindhastigheten øker med høyden over terrenget på grunn av friksjon. Fordelingen over høyden på bygningen avhenger av terrengets karakteristikk.

Vindtrykk.

Vind virker på overflater som trykk. Dette trykket er alltid rettet vinkelrett på overflaten! Trykket \( p_w \) er proporsjonalt med kvadratet av vindhastigheten \( v_w^2 \) og for en plan overflate beregnes det som:

, hvor \( \rho \) er luftens tetthet.

Dette er vindhastighetstrykket. Den relevante vindhastigheten for trykkberegning er relatert til grunnvindhastigheten. Lokalt terreng og turbulens må imidlertid vurderes for å gi et realistisk estimat for en bestemt konstruksjon. I Eurokodene foreslås to alternativer: en detaljert metode som vurderer mange spesifikke faktorer, og en forenklet metode som bruker grafer for å estimere topphastighetstrykket. I dette kurset bruker vi den forenklede metoden som introduseres nedenfor.

Forenklet estimering av topphastighetstrykk

Estimeringen av topphastighetstrykket baserer seg på grunnvindhastigheten \( v_b \) og en graf som beskriver sammenhengen mellom terrengegenskaper, høyden \( z \) til en bygning og det tilsvarende topphastighetstrykket \( p_{p0}(z) \). Terrengegenskapene klassifiseres i fem kategorier, se Figur 103.

Topphastighetstrykket tilsvarer trykket på en standard overflate som står vinkelrett på vindretningen. Trykkfordelingen på bygningen estimeres basert på topphastighetstrykket og en trykkkoeffisient som avhenger av bygningens form og orientering mot vinden.

========= Forelesning 7 - Sikkerhet og Konstruksjonspålitelighet

Læringsmålet for dagens forelesning er:

• utvikle en grunnleggende forståelse av sikkerhet og konstruksjonspålitelighet
• være i stand til å beregne sannsynligheten for svikt i en enkel konstruksjon (med forenklede antakelser)
• kunne knytte sammen pålitelighet og sikkerhetsfaktorkonseptet fra konstruksjonsstandarder.

Leseoppgaver / Hjemmearbeid:

• Disse forelesningsnotatene
• Gjennomgå Per Kr. Larsen - Konstruksjonsteknikk: Kapittel 1 + 2
• Jörg Schneider - Safety and Reliability of Structures: Kapittel 4.31 – 4.33
• Designers' guide to Eurocode 0

Sikkerhet - et krav til konstruksjoner

Den bygde omgivelsen, dvs. infrastruktur, industribygg og anlegg samt boliger, utgjør grunnlaget for vår økonomi og den kontinuerlige utviklingen av samfunnet vårt. I denne sammenhengen spiller konstruksjoner en viktig rolle, siden den primære hensikten med konstruksjoner er å sikre funksjonaliteten til den bygde omgivelsen. At konstruksjoner er trygge, er en viktig forutsetning for samfunnets suksess, og konstruksjonssikkerhet er et grunnleggende samfunnskrav.

Tilsvarende er konstruksjonssikkerhet et krav som er definert i lovgivning på flere hierarkiske nivåer – konstruksjoner må være trygge i henhold til loven.

Det finnes flere formelle definisjoner av sikkerhet eller trykkhet, og dermed brukes sikkerhetsbegrepet som en absolutt eller relativ egenskap i vårt daglige språk. ("Det er trygt å bruke luftfart" er en absolutt påstand; "Luftfart er tryggere enn biltrafikk" er en relativ påstand). I sammenheng med konstruksjonsteknikk finnes følgende definisjon i ISO 2394:2015:

Konstruksjonspålitelighet per tidsenhet er definert som komplementet til sannsynligheten for konstruksjonssvikt per tidsenhet; dvs. konstruksjonssikkerhet er en absolutt beskrivelse for situasjoner der sannsynligheten for svikt per tidsenhet er tilstrekkelig lav.

Oppnåelse av konstruksjonssikkerhet: Konstruksjonsingeniører har ansvaret for at konstruksjoner er trygge. Konstruksjonsingeniører tar derfor riktige beslutninger gjennom hele livssyklusen til en konstruksjon.

Ved beslutningstaking tar konstruksjonsingeniører hensyn til informasjon, for eksempel om:

• Trafikkvolum
• Laster
• Motstand (materialer, grunnforhold, ...)
• Nedbrytningsprosesser
• Levetid
• Produksjonskostnader
• Utførelseskostnader
• Avhendingskostnader

Faktisk er informasjonen som må integreres, forbundet med usikkerheter. Disse usikkerhetene må derfor tas i betraktning i beslutningene som tas gjennom konstruksjonens livssyklus.

Konstruksjonsprosjektering for sikkerhet

Sikkerhet innebærer at sannsynligheten for svikt må være tilstrekkelig lav. Hva tilstrekkelig lav betyr, er ikke et enkelt spørsmål, og dette vil bli nærmere behandlet i kurset TKT4196 - Prosjektering Sikkerhetsforhold. Her lar vi temaet ligge og definerer at en tilstrekkelig lav sannsynlighet for svikt i en konstruksjon betyr \( \Pr(F)=10^{-5} \) per år.

slik at:

Eksempel - Stang belastet i strekk 1

Betrakt stålstangen som illustrert i Figur fig:Rod2. Den er belastet av kraften \( D \) og har en flytespenning på \( F_y \). Tverrsnittsarealet til stangen er \( A=10\; mm^2 \).

FIGUR: [../Figures/Rod2, width=100 frac=0.2] En stålstang som er belastet i strekk.

Både belastningen \( D \) og flytespenningen \( F_y \) er usikre og representert ved uavhengige normalfordelte tilfeldige variabler:

Sannsynligheten for svikt i stangen må beregnes.

Løsning:

Motstand:

Sikkerhetsmargin \( M \) (i kN):

Pålitelighetsindeks:

Sviktsannsynlighet:

Merk at \( \Phi\left(x \right) \) kan finnes f.eks. i en tabell.

Slutt på Eksempel - Stang belastet i strekk 1.

Eksempel - Stang belastet i strekk 2

Vi betrakter den samme stangen med de samme materialegenskapene og belastningen som introdusert ovenfor. Denne gangen ønsker vi å dimensjonere stangen, dvs. velge tverrsnittsarealet, slik at den oppfyller et spesifisert pålitelighetskriterium på \( \beta_{target}=4 \) eller tilsvarende \( \Pr(F)_{target}=3.17\cdot 10^{-5} \).

Løsning:

Slutt på Eksempel - Stang belastet i strekk 2.

Beregningen av sviktsannsynlighet og pålitelighetsindeks kan være krevende for praktisk rutinemessig konstruksjonsprosjektering. Det ville være ønskelig å ha prosjekteringskriterier som garanterer tilstrekkelig sikkerhet og samtidig ikke krever probabilistisk analyse, dvs. kun krever deterministiske beregninger.

Ved å betrakte et spesifikt prosjekteringstilfelle, ville det være enkelt å sette opp et enkelt deterministisk prosjekteringskonsept ved å introdusere en såkalt global sikkerhetsfaktor \( SF \).

Eksempel - Stang belastet i strekk 3

Betrakt igjen eksempelet med stålstangen fra ovenfor. Pålitelighetskravet var gitt som \( \beta_{target}=4 \), og vi fant ut at \( A=15.87\: mm^2 \) tilfredsstilte dette sikkerhetskravet. Alternativt til pålitelighetsberegningen kunne vi også definere et sikkerhetskonsept basert på middelverdiene av de tilfeldige variablene og en global sikkerhetsfaktor definert som:

Slutt på Eksempel - Stang belastet i strekk 3.

Mer generelt for problemet \( M=R-D \) med normalfordelte variabler med kjente variasjonskoeffisienter \( cov_R \) og \( cov_D \), kan en direkte sammenheng mellom den globale sikkerhetsfaktoren og pålitelighetsindeksen etableres:

En en-til-en sammenheng mellom en global sikkerhetsfaktor og et pålitelighetskrav kan etableres for et spesifikt tilfelle. Dette er imidlertid ikke tilstrekkelig for et sikkerhetskonsept innen prosjekteringsstandarder, hvor et stort antall ulike prosjekteringssituasjoner må dekkes.

Delvis sikkerhetsfaktorkonsept

Prosjekteringsverdier:

Som vil bli sett i et eksempel senere, er det en fordel å sette en sikkerhetsfaktor på hver variabel i bruddgrensetilstandslikningen og introdusere et prosjekteringskriterium basert på såkalte prosjekteringsverdier av de tilsvarende variablene.

Vi illustrerer konseptet igjen basert på det enkle problemet \( M=R-D \) og kravet:

Der \( r_d \) og \( d_d \) er de såkalte prosjekteringsverdiene.

Prosjekteringsverdiene er de verdiene som skal brukes i prosjekteringen for å oppnå en løsning som samsvarer med \( \beta_{target} \).

Delvise sikkerhetsfaktorer: For å beregne prosjekteringsverdien basert på karakteristiske verdier, innføres de såkalte delvise sikkerhetsfaktorer definert som:

For motstandsvariabler \( R \):

For lastvariabler \( D \):

For eksemplet med stangen beregnes de karakteristiske verdiene og de delvise sikkerhetsfaktorene som følger:

Slutt på Eksempel - Stang belastet i strekk 5.

Eksempel - Bjelke med to laster

Den enkelt oppstøttede bjelken i Figur 104 skal dimensjoneres for en spesifisert målpålitelighetsindeks på \( \beta_t=4.2 \). De grunnleggende stokastiske variablene som representerer situasjonen er gitt nedenfor.

Grensetilstandsfunksjonen for bøyemomentet i midtspennet er:

Den tilsvarende pålitelighetsindeksen er:

Pålitelighetsbasert dimensjonering:

Bjelkens tverrsnitt \( W \) kan velges slik at pålitelighetsindeksen til bjelken tilsvarer målpåliteligheten, dvs. \( \beta=\beta_t \). Dette tilsvarer den såkalte pålitelighetsbaserte dimensjoneringen. For eksempel, for \( l=6 \) m, er seksjonens elastisitetsmodul som gir \( \beta=\beta_t \) funnet til å være \( W=3.01\cdot 10^5 \). Tverrsnittets elastisitetsmodul er plottet mot bjelkelengden i Figur 105.

Dimensjonering med partialfaktorer: Selv om moderne konstruksjonsstandarder (som Eurokoder) tillater pålitelighetsbasert dimensjonering, foreslår de enklere dimensjoneringsprosedyrer i semi-probabilistisk dimensjoneringsformat, hvor dimensjoneringsligningene skrives i last- og motstandsbasert dimensjoneringsformat (LRFD). Dette formatet kalles semi-probabilistisk, siden stokastiske variabler (representert ved fordelingsfunksjoner) reduseres til dimensjoneringsverdier, som oppnås fra karakteristiske verdier som \( r_d=r_k/\gamma_R \) (for motstand) og \( s_d=s_k \cdot \gamma_S \) (for laster). Formatet er enklere, siden konstruktøren kan sjekke designet bare ved å sammenligne dimensjoneringsverdier, uten å måtte bruke pålitelighetsanalyser.

Dimensjoneringsligningen for bjelken over er:

hvor:

\( f_{m,d}=\dfrac{f_{m,k}}{\gamma_R} \); \( g_{d}=g_k\gamma_G \) og \( q_{d}=q_k\gamma_Q \) er de dimensjonerende verdiene;

\( f_{m,k}=F_{F_m}^{-1}(k_{F_m}) \); \( g_{k}=F_{G}^{-1}(k_{G}) \) og \( q_{k}=F_{Q}^{-1}(k_{Q}) \) er de karakteristiske verdiene som tilsvarer de karakteristiske fraktilene \( k_{F_m} \), \( k_{G} \) og \( k_{Q} \), som er definert vilkårlig, og

\( \gamma_G \); \( \gamma_R \) og \( \gamma_Q \) er partialfaktorene.

Den minimale tverrsnittets plastiske modul som tilfredsstiller dimensjoneringsligningen er:

Kalibrering av de delvise sikkerhetsfaktorene for et gitt spenn (f.eks. 6 m):

De delvise sikkerhetsfaktorene må kalibreres slik at dimensjoneringen gitt med \( W_{min} \) oppfyller en målsatt sikkerhet. Dette tilsvarer å besvare spørsmålet hvilke verdier av de delvise sikkerhetsfaktorene gir en dimensjonering (dvs. \( W \)) assosiert med pålitelighetsindeksen \( \beta = \beta_t \)?

Grensetilstandsfunksjonen omskrives med \( W = W_{min} \):

Beta-indeksen evalueres tilsvarende:

hvor det er tydelig at påliteligheten til dimensjoneringen avhenger av de delvise sikkerhetsfaktorene, dvs. \( \beta = \beta(\gamma_R, \gamma_G, \gamma_Q) \).

De delvise sikkerhetsfaktorene bestemmes basert på sensitivitetsfaktorene \( \alpha_{F_m}, \alpha_G, \alpha_Q \):

Introducing \( W=3.01\cdot 10^5\:mm^3 \) that was found for \( l=6 \) m, the sensitivity factors are \( (\alpha_{F_m}=-0.699,\alpha_Q=0.698,\alpha_G=0.157) \). The corresponding partial safety factors are:

The calibrated p.s.f. obtained above result in a reliability \( \beta\ne\beta_t \), for a beam span \( l\ne 6 \) m, cf. Figure 106. This is due to the fact that the fraction of the external moment induced by \( G \) (or \( Q \)) changes with the beam span. The reliability for \( l=6 \) m is equal to the target, since that was the condition imposed for calibration. The reliability index is therefore dependent on the beam span (or equivalently the ratio between the moments induced by \( G \) and \( Q \)), i.e. \( \beta=\beta(\gamma_R,\gamma_G,\gamma_Q,l) \).

In order to get a constant reliability, i.e. independent of the geometry, a new set of p.s.f should be calibrated for each beam length, see Figure 107.

This is not practical and not implemented in design codes. The problem is solved by finding the set of p.s.f which ensures the reliability to be as homogeneous as possible over a range of possible scenarios. This set can be obtained by solving the minimization problem:

The set of p.s.f obtained is \( (\gamma_R^*=1.08,\gamma_G^*=1.38,\gamma_Q^*=1.35) \). The corresponding reliability is plotted in Figure 108.

Global Sikkerhetsfaktor:

Et alternativt (og eldre) format for semi-probabilistiske designekvivalenter bruker den globale sikkerhetsfaktoren (\( SF \)). Designekvivalenten med den globale sikkerhetsfaktoren anvendt på middelverdiene er:

hvor telleren er middelverdien av momentmotstanden og nevneren er middelverdien av det påførte momentet.

Som tidligere kan \( SF \) kalibreres slik at designekvivalenten gir et design med ønsket risikonivå. Grensetilstandsfunksjonen omskrives med \( W= W_{min} \):

Deretter evalueres pålitelighetsindeksen \( \beta \) som:

hvor det er tydelig at påliteligheten av designet avhenger av den globale sikkerhetsfaktoren, dvs. \( \beta=\beta(SF) \).

Den globale sikkerhetsfaktoren kalibreres ved å sette \( \beta(SF)\equiv \beta_t \). Som et eksempel, for \( l=6 \) m, blir den kalibrerte globale sikkerhetsfaktoren funnet ved numerisk minimering til å være \( SF^*=2.51 \), noe som gir \( W=300610 \) mm \( ^3 \).

Som tidligere gir designet utført med den kalibrerte \( SF \) for \( l=6 \) m en forskjellig pålitelighet for ulike spenn. \( SF \) kan kalibreres for å gi en så homogen pålitelighet som mulig over de forskjellige designscenarioene. Derfor kan \( SF \) kalibreres ved å løse et minimeringsproblem.

Den optimaliserte \( SF \) som ble funnet er \( SF^*=2.20 \), se Figur fig:l09_e6.

FIGUR: [../Figures/gsf.eps, width=600 frac=0.7] Pålitelighetsindeks for \( SF \) kalibrert for \( l = 6 \) m (i blått) og for forskjellige scenarioer samtidig (i grønt).

Kommentarer og observasjoner:

Det kan observeres fra Figur 108 og Figur fig:l09_e6 at ved å endre \( SF \) blir kurven kun flyttet opp og ned, mens de tre p.s.f.-ene skifter og forvrenger kurven (merk at de vertikale aksene i begge figurer har forskjellig skala). Dette fører til høyere nivåer av optimalisering (dvs. en flatere kurve) med p.s.f. Verdiene av \( \sum_{i=1}^n\left(\beta_t-\beta_i\right)^2 \) viser tydelig forskjellene i de to formatene. Etter optimalisering er \( \sum_{i=1}^n\left(\beta_t-\beta_i\right)^2=0.026 \) for p.s.f.-formatet og \( \sum_{i=1}^n\left(\beta_t-\beta_i\right)^2=1.88 \) for det globale sikkerhetsfaktorformatet. Metoden for last- og motstandsfaktordesign gir dermed et mer homogenisert sikkerhetsnivå.

FIGUR: [../Figures/l09_e7.png, width=600 frac=0.7] Sammenligning av \( \beta \)-verdier for \( SF \) og delvise sikkerhetsfaktorer (LRFD) før og etter optimalisering.

Læringsmål for i dag:

• utvikle grunnleggende kompetanse i anvendelse av lastkombinasjonsreglene i EUROKODENE

Lesing / Hjemmelekse:

• Disse forelesningsnotatene
• Få grunnleggende oversikt over EN 1990
• Designers' guide to Eurocode 0

Prinsipper

I Eurokodene blir en semi-probabilistisk designmetode introdusert gjennom delvis sikkerhetsfaktor-design, som generelt bør brukes som standard designmetode for vanlige designsituasjoner. Formatet for delvis sikkerhetsfaktor-design er formulert slik at det legger til rette for identifikasjon av akseptable og gjennomførbare designløsninger for nye konstruksjoner. Formatet for delvis sikkerhetsfaktor-design inkluderer:

• klassifisering av konsekvensklasser (se EN 1990 Vedlegg B);
• designsituasjoner (se EN 1990 til 1999);
• designekvasjoner (se EN 1990 til 1999);
• designverdier (som fastsatt i EN 1990, seksjon 6).

Designekvasjoner kan formuleres for svikt i individuelle tverrsnitt av en struktur eller for svikt i flere tverrsnitt og/eller komponenter.

Implementering

Den prinsipielle formen for designekvasjonen er gitt som:

, hvor \( R_d \) er designverdien for bæreevne og \( E_d \) er designverdien for lastepåvirkning.

Designverdien av en grunnleggende variabel \( Y \) er definert som multiplikasjon eller divisjon av en tilsvarende delvis sikkerhetsfaktor \( \gamma_Y \) og den karakteristiske verdien \( Y_k \). Følgelig kan ligning \eqref{eq:design} skrives som:

Den karakteristiske verdien \( Y_k \) er definert som en spesifisert \( p \)-fraktilverdi fra den statistiske fordelingen \( F_Y \), som er valgt for å representere den grunnleggende variabelen:

hvor \( F_Y \) er den kumulative sannsynlighetsfordelingsfunksjonen for den grunnleggende variabelen \( Y \).

Typiske verdier for \( p \) er:

• motstandsrelaterte variabler: \( p=0.05 \);
• permanente laster: \( p=0.5 \);
• tidsvarierende laster: \( p=0.98 \) (med henvisning til fordelingen av de årlige ekstremverdiene).

Lastkombinasjon

Prosjekteringsverdien for lasteffekten \( E_d \) oppnås generelt ved å kombinere lasteffekter fra forskjellige kilder som er relevante for strukturen i hånden. Hver kritisk tverrsnitt vurderes dermed separat, og den største lastvirkningen tatt fra forskjellige kombinasjonsalternativer anses som relevant.

Ved kombinasjon av lasteffekter skilles det mellom permanente laster \( G_j \) og variable laster \( Q_i \).

For variable laster introduceres den såkalte lastkombinasjonsfaktoren \( \psi_0 \) som tar hensyn til at ytterpunktene for variable laster ikke skjer samtidig.

Lastkombinasjonsfaktorer for forskjellige variable laster er gitt i EN1990, tabell NA.A1.1:

Reglene for lastkombinasjoner og spesifiseringen av de delvise sikkerhetsfaktorene for permanente og variable lastvirkninger er deretter gitt i EN 1990 tabell NA.A1.2(B):

Tabellen spesifiserer delvise faktorer for laster med gunstig og ugunstig effekt. Den skiller også mellom situasjoner hvor den permanente lasten er dominerende (likn. 6.10a) og hvor en av de variable lastene er dominerende (likn. 6.10b). Tilsvarende for et lastkombinasjonsproblem med \( n \) (ugunstige) variable laster, må \( n+1 \) lastkombinasjoner evalueres, hvor den som gir den største absolutte lastvirkningen anses som den relevante.

Eksempel 1

Løsning:

Kombinasjonen av laster for en grensetilstand av brudd er dekket i kapittel 6 i NS EN 1990:2002. Gitt karakteristiske verdier for de virkende lastene, skal designverdien for de individuelle virkningene og deres kombinerte effekt vurderes. Det antas at klausulen 6.1(2) er oppfylt, dvs. 'Laster som ikke kan forekomme samtidig, for eksempel av fysiske grunner, skal ikke betraktes sammen i kombinasjon’.

Permanente, variable og tilfeldige laster skal kombineres. Permanente laster som gir ugunstige effekter er gitt ved deres øvre designverdier. Permanente laster som gir gunstige effekter er gitt ved deres nedre designverdier. Variable laster kategoriseres som enten ledende eller følgende laster. Den ledende lasten skal vurderes med sin karakteristiske verdi \( Q_{k,1} \). Kombinasjonsverdien \( \psi_{0,i} Q_{k,i} \) skal brukes for følgende laster. Når det ikke er trivielt å identifisere denne kategoriseringen, skal hver variable last vurderes sekvensielt som den ledende.

For grensetilstander av brudd, tillater NS EN 1990:2002 bruk av den minst gunstige av uttrykkene i likningene (6.10a) og (6.10b). I likning (6.10a) antas alle variable laster å være følgende laster, dvs. kombinasjonsverdien brukes for alle variable laster. I likning (6.10b) identifiseres en variabel last som den ledende lasten og en reduksjonsfaktor \( \xi \) brukes på de ugunstige permanente lastene (\( \xi = 0.89 \)). Generelt sett kan det være nødvendig å prøve forskjellige kombinasjoner av ledende og følgende variable laster for å finne ut hva som er den mest ugunstige kombinasjonen.

I dette eksemplet er alle lastene ugunstige med hensyn til reaksjoner i A og C og bøyemoment i B. Designlasten beregnes i henhold til likningene (6.10a) og (6.10b) nedenfor.

Anvendelse av 6.10a:

I henhold til tabell NA.A1.1 i Norsk Nasjonal Tillegg til NS EN 1990:2002, \( \psi_0=0 \) for pålagte laster på tak og \( \psi_0=0.7 \) for snøbelastning (i Norge).

Anvendelse av 6.10b:

Siden det er to variable laster, testes to lastkombinasjoner for å finne designlastkombinasjonen. Først antas det at nyttelasten er ledende, og deretter vurderes tilfellet med snølasten ledende.

Derfor er prosjekteringslasten for reaksjonene ved A og B og momentet ved B \( 11.85 kN/m \), gitt av likning 6.10b med nyttelasten \( Q \) som ledende.

Likevekt grensetilstand

Så langt har vi introdusert fremgangsmåten for kombinasjon av laster for grensetilstander av brudd hvor svikt/ruptur av et tverrsnitt er hendelsen av interesse. Grensetilstanden formuleres ved å sammenligne den kombinerte lasten med lastbærende motstand av det vurderte tverrsnittet.

En situasjon som ofte også blir relevant, er den såkalte likevekt grensetilstand. Her representeres tap av statisk likevekt av grensetilstanden. De tilsvarende reglene for lastkombinasjoner finnes i EN 1990 Tabell NA.A1.2(A):

Eksempel 2

Vurder bjelken i Figur 113 belastet med egenvekt \( G \) og variabel nyttelast \( Q \). Bjelken er del av en balkong i et bolighus.

De karakteristiske verdiene for virkningene er \( g_k=2 \) kN/m; \( q_k=4 \) kN/m.

1. Hva er det maksimale forholdet \( b/a \) som verifiserer likevekt grensetilstanden? Anta at støttene ikke kan gi tensjonsreaksjoner.

2. Vurder \( a=10 \) m og \( b=4.6 \) m. Beregn designbøyemomentet \( M_{ED} \) som virker på bjelken.

Løsning

1:

Verifiseringen av grensetilstandene innebærer at designens sannsynlighet for ikke å tilfredsstille dem er liten nok. Ifølge NS EN 1990:2002 skal følgende grensetilstander vurderes for design av en struktur:

a) EQU: Tap av statisk likevekt av strukturen eller en del av den som vurderes som et stivt legeme, hvor:

• små variasjoner i verdien eller den romlige fordelingen av laster fra en enkelt kilde er

betydelige, og

• styrken til konstruksjonsmaterialer eller grunnen er generelt ikke styrende;

b) STR: Internt svikt eller overdreven deformasjon av strukturen eller strukturelle elementer, inkludert fundamenter, peler, kjellervegger osv., hvor styrken til konstruksjonsmaterialene i strukturen styrer;

c) GEO: Svikt eller overdreven deformasjon av grunnen hvor styrken til jord eller fjell er betydelig for å gi motstand;

d) FAT: Utmattelsessvikt av strukturen eller strukturelle elementer.

Klausul 6.4.3.1(4)P skal vurderes for lastkombinasjonen av en EQU grensetilstand: Hvis resultatene av en verifikasjon kan være svært følsomme for variasjoner i størrelsen på en permanent last fra sted til sted i strukturen, skal den ugunstige og den gunstige delen av denne lasten betraktes som individuelle laster.

Derfor kan lastene deles for å vurdere deres designverdier under gunstige eller ugunstige antagelser. Med dette i tankene, deles de virkende lastene som i EN 1990 Tabell NA.A1.2(A), hvor \( \gamma \)-faktorene er gitt for likevekt designverdier.

De karakteristiske verdiene for egenvekt \( G \) og pålagt last \( Q \) er \( g_k=2 \) kN/m og \( q_k=4 \) kN/m, henholdsvis. Designlasten beregnes deretter separat for begge spenn:

Likevekten skal sjekkes med lastkonfigurasjonen i Figur 116, med tanke på at støttene ikke tar opp noen oppadgående kraft. Matematisk betyr dette: likevekt er ikke verifisert når reaksjonen ved støtte A er negativ. Reaksjonene ved støttene A og B bestemmes direkte av likevekt av krefter og momenter.

En parameter \( k\in \rm I\!R^+ \) introduseres, definert som \( k=b/a \). Gitt designlastene, er likevekten verifisert avhengig av \( k \). Tilfellet hvor EQU grensetilstanden nettopp er verifisert, er relatert til en ratio \( k=k_{lim} \). Når utkragsspennet \( b \) blir lengre enn en grenseverdi (\( b\geq k_{lim}a \)), er likevekt kun tilfredsstilt med en negativ verdi av \( R_A \), dvs. holder bjelken ned ved støtte A.

Lastvirkningene, dvs. skjærkreftene og bøyemomentene langs bjelken, beregnes ved å bruke likevekt med de eksterne virkningene. I Figur 117 (a) og (b) er skjær- og bøyediagrammene illustrert for \( k < k_{lim} \) og \( k=k_{lim} \), henholdsvis.

Ved å sette inn \( b=ka \) i Eq.\eqref{eq:eq1} får vi:

Ved å sette \( R_A=0 \) får vi:

Nå er det direkte å isolere \( k_{lim} \) for akkurat å tilfredsstille EQU grensetilstanden:

Derfor må \( b \) være mindre eller lik \( 0.46a \) for å tilfredsstille EQU. I Figur 118 kan man observere forholdet mellom reaksjonen ved støtte A og \( k \).

2:

Ved å sette \( a=10 \) m og \( b=4.6 \) m er EQU grensetilstanden verifisert. Bøyemomentet ved støtte B blir:

For å beregne designmomentet \( M_{Ed} \), må også STR grensetilstanden verifiseres. De maksimalt negative og positive bøyemomentene oppstår ved støtte B og ved et mellomliggende punkt C av Spenn 1, henholdsvis. \( M_{Ed} \) er maksimum (i absolutt verdi) mellom begge. Designlastene for STR grensetilstanden avviker fra de som brukes for EQU-verifisering. Tabell NA.A1.2(B) gjelder for verifisering av STR grensetilstanden.

Følgende bør bemerkes: Merknad 3 i Tabell (NA)A1.2(B) av (NS)EN 1990:2002: De karakteristiske verdiene for alle permanente laster fra en kilde multipliseres med \( \gamma_{G,sup} \) hvis den totale resulterende virkningen er ugunstig og \( \gamma_{G,inf} \) hvis den totale resulterende virkningen er gunstig. For eksempel kan alle laster som stammer fra strukturens egenvekt betraktes som kommet fra én kilde; dette gjelder også hvis forskjellige materialer er involvert.

Bøyemoment i B: \( q_a \) og \( q_b \)

Bøyemoment i B: \( q_a \) og \( q_b \) UGU

Likn. (6.10b) gir en mer konservativ situasjon. Resultatene er skisserte i Figur 119.

Bøyemoment i C: \( \gamma_{G,sup} \) brukes på egenvekten i begge spenn.

Designbøyemomentet ved et mellomliggende punkt av Spenn 1 beregnes som følger. Reaksjonen ved støtte A beregnes ved bruk av Likn.\eqref{eq:eq1}. Bøyemomentet ved en avstand \( x \) fra støtte A er gitt ved:

Det maksimale momentet finnes ved å sette derivatet av Likn.\eqref{eq:eq11} til null:

Det høyeste momentet finnes for lastkombinasjonen gitt av Likn.(6.10b). For denne lastkombinasjonen resulterer \( R_A \) i 39.07 kN. Det maksimale momentet \( M_{C,Ed} \) skjer ved en avstand \( x= 4.7 \) m, og gir \( M_{C,Ed}=M(4.7 \text{m})=91.94 \) kNm. Resultatene er skisserte i Figur 120.

Derfor er designbøyemomentet for bjelken \( M_{Ed}=\max\{\vert M_{B,Ed}\vert,\vert M_{C,Ed} \vert\}=91.94 \) kNm.