Design av et tak - et motiverende eksempel

For å demonstrere de prinsipielle utfordringene ved prosjekteringsprosessen for konstruksjoner, la oss se på en typisk situasjon som eksempel:

Et flatt tak utsatt for snølast må designes.

En erfaren konstruksjonsingeniør ville fulgt en nokså standardisert prosedyre for jobben. Men la oss anta at vi gjør dette for første gang og bruker vår allerede opparbeidede ingeniørforståelse for å identifisere en systematisk tilnærming til å løse problemet.

Så, hvordan kan vi begynne? Hva ville vært det første steget?

1. Kontekst og krav: Før vi starter noen analyse, må vi avklare noen prinsipielle spørsmål angående kravene til konstruksjonen. Dimensjonene på området som skal dekkes er generelt spesifisert av kunden. For eksempel kan kunden spesifisere at takarealet skal være 20x8 kvadratmeter. Videre må kunden spesifisere hva som forventes av taket med tanke på bæreevne. Generelt forventes et (tak-)system å være:

• sikkert – det skal tåle belastningen og ikke svikte,
• tilstrekkelig stivt – dvs. at det ikke skal deformeres betydelig (da dette kan ødelegge takets funksjon),
• kostnadseffektivt.

2. Konseptuelt design: Det neste logiske steget er å utvikle et prinsippielt bærekonsept for et flatt tak. Med de spesifiserte dimensjonene ovenfor kan et mulig konstruksjonskonsept være en samling av trebjelker arrangert parallelt, som illustrert i FIGURE 6. Disse parallelle bjelkene (kalt sekundærbjelker) støttes av større kantbjelker (kalt primærbjelker).

Bæreevnen til dette konseptet er at lasten på taket overføres fra takbelegget (ikke synlig i FIGURE 6) til sekundærbjelkene, som deretter overfører lasten til primærbjelkene gjennom bjelkevirkning, som illustrert i den neste figuren. Vi vil nå fokusere på vurderingen av sekundærbjelkene. Bæreevnen til systemet med sekundærbjelker bestemmes av:

• Materialstyrken til treverket
• Avstanden mellom sekundærbjelkene (avgjør hvor mye last hver bjelke mottar), og
• Tverrsnittsdimensjonen til sekundærbjelkene, dvs. høyden \( h \) og bredden \( b \) til en bjelke med rektangulært tverrsnitt.

3. Forenklinger og antakelser: Sammenlignet med andre konstruksjoner er strukturen til et flatt tak relativt enkel, men en realistisk mekanisk representasjon av dette systemet ville allerede være komplisert fordi vi måtte representere:

• Hvordan er snøen fordelt på taket?
• Hvordan fordeles lasten blant bjelkene? (dette avhenger tydeligvis av stivheten til de forskjellige bjelkene og oppførselen til kantbjelkene ved støttene, bæreevnen til søylene, takbelegget som hviler på bjelkene, osv.)
• osv.

En realistisk representasjon av strukturelle systemer er generelt ganske vanskelig, og et viktig trinn i et konstruksjonsteknisk prosjekt er identifisering av rimelige antakelser og forenklinger. I dette eksemplet virker det rimelig å anta følgende:

• Snølasten er jevnt fordelt på takflaten,
• Bjelkene deler lasten likt,
• De tverrgående støttebjelkene og søylene anses som stive.

4. Mekanisk vurdering: Bæreevnen må vurderes. I dette eksemplet fokuserer vi på sikkerheten til taket (det skal ikke svikte) og må derfor vurdere maksimal bæreevne og sammenligne den med belastningen strukturen er utsatt for.

Bøyningskapasitet til et elastisk rektangulært tverrsnitt:

For å evaluere det maksimale momentet for et rektangulært tverrsnitt vurderer vi det maksimale indre momentet som er avhengig av den maksimale spenningskapasitet \( \sigma_{max,timber} \) til trematerialet:

Momentvirkning fra lasten: Systemet er en enkeltopplagt bjelke med jevnt fordelt last.

Maksimalt moment oppstår ved \( x=l/2 \):

I samsvar med dette vil bjelken ikke svikte dersom motstanden er større enn lastens effekt, dvs. sammenligningen av momentene er:

Ligning \(\ref{eq:deq1}\) refereres generelt til som prosjekteringsligning. Den inneholder prosjekteringsvariabler, som er variabler som kan velges eller kontrolleres under prosjekteringen. I dette eksempelet er det bredden \( b \) og høyden \( h \) på tverrsnittet som kan velges fritt, og dette valget kalles konstruksjonsdesign. Spennet til bjelken \( l \) er bestemt av kravene til rommet (kunden ønsket et tak med spesifikke dimensjoner, her et område på 20 x 8 meter, slik at \( l \) blir 8 meter). Lasten \( q_s=a*s \) (\( a=2\:m \)) og materialstyrken \( \sigma_{max,timber} \) er variabler som må kvantifiseres.

For gitt \( b= \) 300 mm er den nødvendige \( h \) plottet som en funksjon av snølasten \( s \) og materialstyrken \( \sigma_{max,timber} \):

Men hvordan kvantifiserer vi snølasten og trevirkets styrke?

Snølast

Den relevante snølasten for prosjektering er den maksimale snølasten i konstruksjonens tiltenkte levetid. En typisk tidsperiode for bygninger er 50 år, dvs. vi er interessert i den ekstreme snølasten i en periode på 50 år. Siden snølasten vil variere over tid og fremtidige snølaster ikke kan forutsies med sikkerhet, må snølasten – som andre typer laster – representeres med tilfeldige variabler som spesifiseres basert på måledata.

Snølasten er også svært avhengig av den geografiske plasseringen og høyden over havet til byggeplassen. I FIGURE (12) illustreres den geografiske fordelingen av snølasten med en gjennomsnittlig returperiode på 50 år. Denne verdien omtales også som den karakteristiske verdien av snølasten. Dette kartet er en del av det nasjonale tillegget til Eurokode EN1991 for snølaster.

Fra kartet og tilhørende tabeller kan en verdi på \( s_k=3.25 kN/m^2 \) for Trondheim identifiseres.

Trevirkets styrke

Egenskapene til heltre beskrives som bæreevne-egenskapene til heltre-komponenter utsatt for forskjellige lastmoduser, se FIGURE (13). Følgelig kommuniseres styrken og stivheten til konstruksjonstømmer som egenskaper målt i standardiserte forsøk, dvs. med standardiserte dimensjoner, lastmoduser, varighet og omgivelsesklima.

Konstruksjonstømmer klassifiseres vanligvis i bestemte kvalitets- eller styrkeklasser. I Europa defineres styrkeklasser som underpopulasjoner med forventede verdier for 5-prosentilen av bøyestyrken og tettheten til treverket, samt forventede verdier for gjennomsnittsverdien av bøyestivheten. Egenskaper for andre lastmoduser per styrkeklasse gis også, se FIGURE (14). (De nevnte materialegenskapene er definert som egenskaper for standard testprøver i henhold til relevante teststandarder).

For den svært vanlige styrkeklassen C24 kan en bøyestyrke på \( \sigma_{max,timber}=f_{m,k}= \) 24 MPa spesifiseres.

Sannsynlighetsfordeling?

Vi kan allerede gjette oss til dette: Materialstyrken og snølasten er usikre – dvs. de kan ikke spesifiseres entydig. Det vi kan spesifisere, er med hvilken sannsynlighet en spesifikk verdi overskrides eller ikke. Funksjonen som representerer denne sannsynligheten kalles sannsynlighetsfordelingsfunksjon. Sannsynlighetsfordelingsfunksjonen er definert over det mulige domenet til variabelen \( X \) (dette er en tilfeldig variabel og indikeres med en stor bokstav) og antas å ha verdier \( x \) (eller realisasjoner – indikert med liten bokstav). FIGURE (15) viser en sannsynlighetsfordelingsfunksjon \( F_X(x) \) og såkalte fraktilverdier. 5%-fraktilen er verdien med en ikke-overskridelses-sannsynlighet på 0,05 eller 5 %, dvs. \( F_X(x)=Pr(X < x)=0.05 \). Den karakteristiske verdien av snølasten er definert som 98%-fraktilen av fordelingen av årlige ekstremverdier.

Det kan sees at de karakteristiske verdiene for materialstyrken og lasten er valgt som henholdsvis en nedre og en øvre fraktil. Men er dette en tilstrekkelig sikker antakelse?

Vi vil følge opp dette spørsmålet videre i kurset – men først skal vi starte med introduksjonen av prinsipielle konstruksjonssystemer og konsepter i neste forelesning.

Læringsmål for i dag:

• Få oversikt over prinsipielle konstruksjonselementer og deres funksjon
• Introduksjon til typiske konstruksjonssystemer
• Knytte til konstruksjonsmekanikk
• Kvalitative lasteeffekter på konstruksjoner

Lese-/hjemmelekse:

• Les gjennom forelesningsnotatene som er distribuert på BlackBoard
• Gå gjennom eksemplene fra forelesningen
• Per Kr. Larsen - Konstruksjonsteknikk: Kapittel 3

Konstruksjoner

En konstruksjon er en ordning og organisering av sammenhengende elementer i et materiell objekt eller system, eller objektet eller systemet slik det er organisert. --- Oxford English Dictionary (Online utg.). Hentet 1. oktober 2015.

I konteksten av det bygde miljøet forstås konstruksjoner som en sammensetning av komponenter eller elementer med hensikt å bære laster. Hovedhensikten med lastbæring – og dermed med konstruksjoner – er å støtte samfunnsaktiviteter, som å tilby husly, transport, energiproduksjon osv.

Avhengig av formålet for lastbæring har det blitt utviklet noen prinsipielle konstruksjonselementer med fordelaktig og spesialisert lastbærende oppførsel. En oppsummering finner du nedenfor.

Prinsipielle konstruksjonselementer

Prinsipielle konstruksjonselementer blir introdusert, og deres prinsipielle lastbærende oppførsel blir forklart. Eksempler på implementering med forskjellige materialer blir gitt.

Stav

Det sannsynlig enkleste konstruksjonselementet er staven. Den kjennetegnes ved sin relative slankhet (slankhet), altså at én dimensjon er betydelig større enn de andre. På grunn av denne slankheten fungerer staven best når den belastes aksialt i strekk. Staver er ofte laget av stål, men kan også lages i tre eller armert betong.

Lastbærende oppførsel:

Den lastbærende motstanden \( R \) i \( [N] \) for en stav kan beregnes som:

hvor \( f \) er materialets bruddspenning i \( [N/mm^2] \), og \( A \) er tverrsnittsarealet i \( [mm^2] \).

Søyle

En søyle er et konstruksjonselement som hovedsakelig overfører laster ved å fungere i trykk. For eksempel kan en søyle overføre laster fra en bjelke, plate eller et tak til et fundament.

Akkurat som staver er søyler generelt slanke, men den lastbærende kapasiteten reduseres ikke-lineært med økende slankhet. Denne effekten kan illustreres med følgende skisse. Momentet i understøttelsen er \( M=V \cdot L \) med utgangspunkt i en ikke-utbøyd tilstand. På grunn av momentet vil søylen imidlertid bøye seg. Momentet øker faktisk til \( M=V \cdot L + P \cdot \Delta \). Lasteffekten (momentet) øker progresivt med økende \( P \). Dette kalles \( P-\Delta \)-effekten. Lasteffekten avhenger også av den laterale stivheten, altså slankheten til søylen.

En informativ video viser en laboratorietest av en slank søyle. Den er levert av Imperial College, London:

Slankheten (slankhet) er definert som:

hvor \( L_k \) er knekklengden (knekklengde), \( I \) er treghetsmomentet, og \( A \) er tverrsnittsarealet.

Det sies at \( P-\Delta \)-effekten er mer uttalt ved lav slankhet. For en gitt knekklengde \( L_k \) reduseres slankheten når \( I \) øker i forhold til \( A \). Tverrsnittsgeometrien til søyler velges derfor slik at \( I/A \) blir så stort som mulig.

Bjelke

En bjelke er et konstruksjonselement som primært motstår laster som påføres lateralt i forhold til bjelkens akse, noe som resulterer i reaksjonskrefter ved bjelkens støttepunkter. Skjærkrefter, bøyemomenter og eventuelt normalkrefter er de tilsvarende lasteeffektene i bjelken.

For mer innsikt i de grunnleggende prinsippene for bjelker i bøyning, se denne videoen av Dr. G. Wayne Brodland fra University of Waterloo:

I et konstruksjonssystem overfører bjelker laster langs sin lengde til sine endepunkter, hvor lastene overføres til andre bjelker, vegger, søyler osv.

Bjelker kan være laget av tre, stål eller betong, eller de kan være sammensatte konstruksjoner.

En rekke tverrsnittsformer er tilgjengelige, inkludert: firkantet, rektangulært, sirkulært, I-formet, T-formet, H-formet, C-formet, rørformet osv. Tverrsnittsformene velges slik at de har et stort seksjonsmodul.

Bjelker kan være rette, buede eller avsmalnende.

Kabler

Akkurat som staver er kabler ment å bære strekkrefter, men i tillegg har kabler en relativt høy fleksibilitet i bøyning og skjær, slik at de kan brukes svært effektivt til store og lette konstruksjoner. Konstruksjoner med kabler inkluderer hengebroer, kabelfestede tak og såkalte "sykkelhjultak". Konstruksjonskabler er hovedsakelig laget av høyfast stål, og strekkapasiteten er svært høy – så høy at det alltid er en teknisk utfordring å forankre disse høye kreftene ved kabelendene. Når tverrlaster introduseres, for eksempel ved klemmer (se ovenfor), tilpasser kabelen formen sin. Dette prinsippet utnyttes for eksempel i hengebroer, der store hengende kabler bærer imponerende store spenn.

For hengebroer finnes det et interessant forhold mellom tårnhøyde og kabelkraft, som illustreres med eksempelet fra "Golden Gate"-broen: "https://www.goldengate.org/exhibits/suspension-cable-tension-vs-tower-height/".

For mer innsikt i de grunnleggende prinsippene for hengebroer, se denne interessante videoen av Dr. G. Wayne Brodland fra University of Waterloo:

En fritt hengende kabel (eller kjede) må bære sin egenvekt, og formen følger den såkalte katenarien, som matematisk beskrives av:

En kabel som betraktes som vektløs, men som bærer en horisontalt uniformt fordelt last som for eksempel brodekket til Golden Gate-broen, vil følge en parabelform:

(Bilde av Billy Hathorn - CC BY 3.0).

Bue

En bue er en vertikal, buet struktur som spenner mellom støttepunkter og bærer sin egen vekt samt vekten over den. I en bue blir tverrlast hovedsakelig eller helt omgjort til trykkspenninger, noe som ofte omtales som buevirkning. Buevirkningsprinsippet er illustrert i figuren – ved å følge riktig form er det mulig å skape rene trykkspenninger i buen.

For mer innsikt i de grunnleggende prinsippene for buer, se denne interessante videoen av Dr. G. Wayne Brodland fra University of Waterloo:

Buevirkningseffekten muliggjorde bygging av store spenn ved bruk av enkle byggematerialer som stein og murstein, som kun fungerer i trykk. Dette er grunnen til at buer er et dominerende byggprinsipp for spenn i historiske konstruksjoner.

Prinsippet om buevirkning brukes også til å skape spenn i to dimensjoner, og dette kalles hvelv (hvelv).

Buevirkningen har også en "sideeffekt" som er viktig å ta hensyn til. Når kreftene på buen overføres til bakken, utvikles det en horisontal kraft som, hvis den ikke begrenses, vil presse buen utover ved basen. Dette kalles trykkraft. Jo lavere stigning eller høyde på buen, desto større blir trykkraften (merk at dette er en av grunnene til de flere "etasjene" på Pont du Gard, se bildet over). Trykkraften begrenses for eksempel av interne stag eller eksterne støttekonstruksjoner, som avsatser.

For mer innsikt i hvordan katedraler fungerer, se denne interessante videoen av Dr. G. Wayne Brodland fra University of Waterloo:

Kuppel

En kuppel er en punkt-symmetrisk struktur, og kuppelvirkningen er sammenlignbar med buevirkningen – den overfører lastene utover ved å holde de interne kreftene hovedsakelig i trykk. Kuppelen kan være selvbegrensende hvis tangensielle strekkrefter kan bæres ved kuppelens nederste kant, dvs. at kanten vanligvis forsterkes med en såkalt ringbjelke.

Hvis geometrien blir friere, men prinsippet med å overføre laterale laster hovedsakelig gjennom trykkaksjon beholdes, kalles strukturen skallkonstruksjon. Tynne friformede konstruksjoner som hovedsakelig virker i strekk, kalles membrankonstruksjoner. Begge typer strukturer utnytter såkalt membranvirkning som oppstår ved samspill av krefter i planet.

For mer innsikt i hvordan kupler fungerer, se denne interessante videoen av Dr. G. Wayne Brodland fra University of Waterloo. Denne videoen er også svært nyttig hvis du vil bygge en iglo.

Fagverk

En veldig viktig konstruksjonstype er fagverket, som i bunn og grunn er et plant eller tredimensjonalt system av triangulære sammenstillinger av staver.

Et fagverk har mange fordeler; det er lett og overfører laster svært effektivt langs stavenes lengderetning. Den overordnede formen på fagverk kan alltid relateres til grunnleggende bygningsdeler som bjelker (se fagverksbroen over), søyler og buer.

En annen fascinerende kuppel-/fagverksstruktur er Sports Hub i Singapore.

Det finnes også en veldig lærerik video på nettet. Siden den er koblet til kommersielle klipp, legger jeg den kun til som en ekstern LINK.. Det anbefales å ignorere reklamen!

Skiver og Plater

(Skive / Plate)

En skive er et plant element der én dimensjon er betydelig mindre enn de to andre. Den brukes enten vertikalt (som vegg) eller horisontalt (som tak eller gulv). En veggskive er hovedsakelig belastet i planet med skjær- og trykkrefter. En horisontal skive er belastet lateralt og ofte også i skjær.

En veldig fin modell for å utforske bøyemotstanden til lateralt belastede plater er introdusert av Dr. G. Wayne Brodland fra University of Waterloo.

Forbindelser og Opplager

(Sammenføyninger og støtter)

Strukturelle komponenter settes sammen til strukturelle systemer for å skape volum og rom. Dermed må laster overføres til opplagrene og til slutt til bakken via flere sammenføyninger mellom komponentene. Det skilles generelt mellom forskjellige hovedtyper av sammenføyninger og opplager, avhengig av hvilke typer krefter de kan overføre.

Disse hovedtypene av sammenføyninger og opplager brukes i mekaniske beregninger. Det er interessant og noen ganger overraskende hvordan disse prinsippene ser ut i virkelige konstruksjoner.

Fundamenter

(Fundamenter)

Fundamenter er den svært viktige forlengelsen av strukturelle systemer mot bakken. Videre diskusjoner om fundamenter ligger utenfor omfanget av denne forelesningen, og det vises til tilsvarende forelesninger i geoteknikk for mer innsikt.

Anbefalte didaktiske videoer:

• Utforsk hydrostatisk trykk
• Hvordan fungerer siloer og tanker?
• Dammer

Dagens læringsmål:

• Kunne kvalifisere prinsipielle lasteeffekter i konstruksjoner
• Forstå vertikal og horisontal lastbæring i bygninger
• Øvelser på lasteeffekter i konstruksjoner

Leselekse / Hjemmearbeid:

• Kompendium: Forelesning 4 (og 1 + 2 + 3 hvis ikke fullført)
• Per Kr. Larsen - Konstruksjonsteknikk: Kapitler 3 + 4
• 1. obligatorisk oppgave

--------------

--------------

Prinsipiell lastbærende oppførsel av konstruksjonselementer og systemer

Grunnleggende prinsipper

Lastbærende oppførsel av konstruksjonselementer og systemer avhenger av:

• De geometriske proporsjonene til konstruksjonen
• Plasseringen og oppstivingen av støtter og forbindelser
• Størrelsen og den romlige fordelingen av laster
• Stivheten til konstruksjonen

Det er viktig å merke seg at de to første aspektene kan kontrolleres ganske godt gjennom konstruksjonsdesign. Størrelsen og den romlige fordelingen av laster er derimot vanligvis ikke kjent på forhånd og kan også endre seg over tid. Dette innebærer at alle antakelser er forbundet med store usikkerheter. Usikkerhetene knyttet til tidsvariasjon tas vanligvis eksplisitt i betraktning, og dette vil vi diskutere nærmere senere i forelesningen. Usikkerhetene om den romlige fordelingen av laster håndteres ofte gjennom konservative forenklinger, altså en verst tenkelig plassering av lastene. Dette introduserer en betydelig skjevhet i den mekaniske vurderingen.

Lastbærende oppførsel vurderes ut fra konstruksjonens respons på laster, som grunnleggende kan uttrykkes i spenninger og tøyninger. Det er praktisk å innføre et mellomnivå kalt lasteeffekter, som kan være aksialkrefter, skjærkrefter, momenter og deformasjoner.

Analysen av lastbærende oppførsel kan bli kompleks og krevende, spesielt for kompliserte konstruksjoner, eller når høy nøyaktighet (en svært realistisk representasjon) er nødvendig. Mer komplekse analyser utføres ofte ved hjelp av numeriske metoder og dataprogrammer, og dette tilhører domene til spesialiserte konstruksjonsingeniører. For enklere problemer er anvendelsen av noen enkle prinsipper generelt tilstrekkelig. Selv for mer komplekse problemer gir bruken av disse prinsippene viktig innsikt i forholdene og størrelsene til lasteeffektene, og de bør alltid brukes til feilsjekk av dataprogrammenes utdata.

Det er viktig at hver sivilingeniør utvikler en grunnleggende forståelse for anvendelsen av disse enkle prinsippene på konstruksjoner. Evnen til å foreta grove vurderinger av hovedfunksjonaliteten og størrelsesordenen til krefter og spenninger for kvalitetssjekk eller konseptuelt design er viktig, ikke bare for spesialiserte konstruksjonsingeniører.

-------------

For statisk bestemte konstruksjoner brukes prinsippet om likevekt til å kvalifisere og kvantifisere interne og eksterne responser på krefter, altså:

• Reaksjonskreftene ved støttene.
• De interne kreftene (og momentene) ved ethvert vilkårlig segment av konstruksjonen.

En veldig god video om likevekt er laget av Dr. G. Wayne Brodland fra University of Waterloo:

Moment- og skjærkraftfordeling

Videre oppgaver

Vertikal og horisontal lastbæring i bygninger

En bygning er en konstruksjon med vegger, gulv og tak som gir ly til menneskelig aktivitet, som for eksempel overnatting, utdanning, produksjon osv. Det finnes et stort mangfold av bygninger, og generelt inkluderer bygninger noen tekniske installasjoner.

Det skilles ofte mellom den bærende og ikke-bærende delen av en bygning. I denne delen av kurset ser vi på den bærende delen, og nesten alle prinsipielle konstruksjonselementer introdusert i forelesning 2 er representert i bygninger. De mest relevante er:

• Plater (som vegger, gulv, tak eller himlinger)
• Søyler
• Bjelker
• Staver (hovedsakelig for avstiving)

Bygninger utsettes for vertikale laster og horisontale laster. Horisontale laster induseres for eksempel av vindtrykk eller jordskjelv. Vertikale laster domineres av tyngdekraften, men vindtrykk kan også forårsake vertikale laster.

Vertikal lastbæring

Vertikale laster i bygninger domineres av tyngdekraften som:

• Laster fra egenvekt av bærende og ikke-bærende deler av bygningen
• Laster fra stasjonære eller bevegelige installasjoner eller møbler, og laster fra mennesker – disse kalles generelt nyttelaster
• Snølaster
• osv.

Den vertikale lastoverføringen bør være så enkel som mulig. Enhver åpning eller avbrudd i den modulære og rektangulære formen fører til ekstra belastning på enkeltelementer.

Akkumuleringen av vertikale laster er avgjørende for høyhus, da store laster krever høy bæreevne, dvs. store tverrsnitt for de lastbærende elementene. De første høyhusene ble bygget i mur, og her var dimensjonene på de nederste veggene og søylene en begrensende faktor. I de laveste etasjene var åpninger sjeldne, og veggtykkelsen var enorm. Et godt eksempel på dette er Monadnock Building fra 1893.

Introduksjonen av sterkere materialer, som stål og armert betong, gjorde det mulig å bygge høyere bygninger. (Se den interessante artikkelen om history of tall buildings).

Store tverrsnitt begrenser mulighetene for åpninger (f.eks. vinduer og innganger) i en bygning, noe som kan være ugunstig – spesielt for de nederste etasjene i kommersielle og representative bygninger. En interessant løsning på dette problemet presenteres i bildet nedenfor.

Strategien for vertikal lastbæring påvirker også størrelsen på de vertikale lastene. I figuren nedenfor er fire alternative strategier for en 18 meter bred bygning illustrert med tilhørende egenvekt for gulvene. Hvorfor blir gulvvekten større fra venstre mot høyre?

Horisontal lastbæring

Bygninger utsettes også for horisontale laster. Typiske horisontale laster som må vurderes i utformingen av bygninger, er vindtrykk og jordskjelv. Vindtrykk gir en distribuert lastkonfigurasjon hvor størrelsen øker logaritmisk med høyden. Jordskjelv forårsaker vibrasjon i bygningens fundament, som resulterer i komplekse dynamiske laster på konstruksjonen.

Lasteffektene forårsaket av horisontale laster i bygninger kan forstås analogt med laster i et utkraget bjelkesystem. Utkrageren i figuren nedenfor reagerer på den påførte horisontale lasten med bøyning og skjærkrefter. I en bygning tilsvarer dette strekk i søylene på siden der trykket påføres, og trykk i søylene på motsatt side. (Merk at lasteeffektene som vises, kun gjelder horisontale laster. Kombinert med vertikale laster (ved superposisjon), vil det normalt ikke være strekk i sidesøylene.)

Flere konstruksjonsstrategier har blitt utviklet for effektiv horisontal lastbæring.

Horisontale laster overføres via vertikale og horisontale skjæreelementer. Stivheten må vurderes i tre dimensjoner for å sikre stabilitet.

Krav til stabilitet er oppsummert i følgende regler:

• Minst tre “skjærvegger”
• Minst to forskjellige orienteringer av “skjærveggene”
• Minst to kryssende skjærveggretninger

Den stive kjerne-løsningen fungerer godt for både vertikale og horisontale laster. En stiv kjerne er vanligvis laget av betong.

De horisontale lastene overføres til kjernen, som fører lastene til bakken gjennom bøyning og/eller torsjon. Merk at torsjonsstivheten reduseres av åpninger. Vertikale elementer som ikke er en del av kjernen, bærer vanligvis bare normalkrefter.

Den stive kjernen fungerer best hvis den plasseres sentralt. Av arkitektoniske årsaker er dette imidlertid ikke alltid valgt. Hvis kjernen plasseres i periferien, kan store horisontale bevegelser oppstå. Dette kan korrigeres med en ekstra skjærvegg plassert langt unna kjernen (blå).

Den horisontale stivheten, spesielt i høyere bygninger, bør være så jevn som mulig. Svake etasjer vil føre til dårlig konstruksjonsoppførsel.

Dagens læringsmål:

• Utvikle en grunnleggende forståelse av laster på konstruksjoner generelt
• Forstå tidsvariasjon og returperioder for ekstreme hendelser
• Kvantifisere snølaster på konstruksjoner

Leselekse / Hjemmearbeid:

• Per Kr. Larsen - Konstruksjonsteknikk: Kapitler 3.3 + 3.5
• Designers' Guide to Eurocode 1
• NS-EN 1990:2002 Basis for design
• NS-EN 1991-1-3:2003 Snø

--------------

Introduksjon

Laster kan generelt kategoriseres som:

• Permanente eller variable
• Direkte eller indirekte
• Faste eller frie
• Statisk eller dynamisk

(sammenlign også paragraf 4.1.1(4)P og 1.5.3.3 i EN 1990)

Laster virker på konstruksjoner som arealkrefter \( [N/m^2] \), men de representeres ofte som linjekrefter \( [N/m] \) eller punktkrefter \( [N] \).

I bygg- og anleggskonstruksjoner er handlinger knyttet til større usikkerheter enn motstanden. Laster er usikre på grunn av:

• Tilfeldige variasjoner i tid og rom.
• Modellering: Hvordan et fysisk fenomen, som vindlast, blir representert som en forenklet matematisk uttrykk, introduserer store usikkerheter.
• Statistiske usikkerheter.

Laster skyldes ofte tyngdekraft, dvs. vekten av materie. Eksempler på tyngdekraftlaster er:

• Egenvekt
• Snølast
• Vekt av møbler og installasjoner i bygninger
• Personer eller maskiner.

Viktige laster som ikke stammer fra tyngdekraft er vindlaster eller jordskjelvlaster.

Til tross for de store usikkerhetene og variasjonene som er knyttet til kvantifisering av laster, representeres laster i konstruksjonsstandarder som Eurokoden med enkeltverdier, de såkalte karakteristiske verdiene. Definisjonen av karakteristiske verdier er spesifisert i standardene – i Eurokodene representeres laster som følger:

• Permanente laster representeres med gjennomsnittsverdier.
• Tidsvariable laster representeres med ekstremverdien for en forventet returperiode på 50 år (98 %-fraktil av den årlige ekstremverdifordelingen).

Representasjon av tidsvariable laster

En tidsvariabel last er en last som endrer størrelse diskret eller kontinuerlig over tid. En realisering på et gitt tidspunkt kan generelt ikke forutsies med sikkerhet, men variabiliteten kan uttrykkes, vanligvis som en stokastisk prosess. Stokastiske prosesser kan karakteriseres ved gjennomsnitt, standardavvik og autokorrelasjon. For konstruksjonsformål er det ofte tilstrekkelig å representere stokastiske prosesser ved deres tilsvarende ekstremverdifordelinger. Ekstremverdiene defineres som fordelingen av maksimums- eller minimumsverdier observert (eller forventet) i perioder av spesifisert lik varighet.

For eksempel, hvis perioden er ett år, vil en observasjonsperiode på 50 år inneholde 50 observasjoner av årlige maksimumsverdier. Slike data kan brukes til å finne en fordeling som representerer fremtidige årlige ekstremverdier under følgende kritiske forutsetninger:

• Referanseperioden er lang nok til at enkeltobservasjoner av ekstremer kan anses som uavhengige. (Dette er åpenbart ikke tilfelle hvis en periode kortere enn ett år velges for klimatiske handlinger.)
• Den stokastiske prosessen er ergodisk – dette betyr i grove trekk at de statistiske egenskapene forblir de samme over tid.

Den første antakelsen er gyldig hvis referanseperioden velges med omhu. For klimatiske handlinger som snø og vind antas det generelt at ett år er tilstrekkelig. For nyttelaster, som inkluderer møbler i bygninger, er ett år derimot ofte for kort, og lengre referanseperioder, som 5 år, brukes vanligvis.

Den andre forutsetningen er mer kritisk av åpenbare grunner:

Som tidligere nevnt, defineres den karakteristiske verdien av en variabel last som 98 %-fraktilen av den årlige ekstremverdifordelingen. Verdiene avhenger av den geografiske regionen for klimatiske handlinger som snø eller vind, og av bruken av bygningen for nyttelaster. Verdier gis i tabeller i Eurokodene for forskjellige geografiske regioner og ulike bygningstyper. Verdiene identifiseres basert på observasjoner og tilsvarende ekstremverdistatistikk.

---

I Figur 83 vises registreringen av vindhastighetsdata fra "Fish Creek". Et årlig mønster med større verdier i vintersesongen kan identifiseres. Hvert årlige maksimum kan også sees – disse verdiene danner grunnlaget for etableringen av en årlig ekstremverdifordeling.

Ekstremverdifordelingen avhenger av den spesifiserte referanseperioden. I lengre perioder er det mer sannsynlig å observere større verdier. Dette fenomenet kan sees i Figur 84.

Tidsavhengighet

Gitt at ekstremverdiene i en periode \( T \) av en ergodisk stokastisk prosess \( X(t) \) er uavhengige og følger sannsynlighetsfordelingen \( F_{X,T}^{max}(x) \), vil ekstremverdiene av samme prosess innenfor perioden \( n\cdot T \) følge en fordeling:

Effekten kan tydelig sees i Figur 85.

Karakteristisk verdi

Den karakteristiske verdien for tidsvariable laster \( x_k \) er definert som 98 %-fraktilen av den årlige ekstremverdifordelingen, noe som betyr at denne verdien har en årlig sannsynlighet for ikke-overskridelse på \( 0.98 \), eller en årlig sannsynlighet for overskridelse på \( 0.02 \), tilsvarende:

Dermed er sannsynligheten for å observere en verdi større enn \( x_k \) $0.02$ per år, og sannsynligheten for å observere en maksimumsverdi mindre enn \( x_k \) per år er \( 0.98 \). Sannsynligheten for å observere en maksimumsverdi over to år som er mindre enn \( x_k \) er \( 0.98 \cdot 0.98 = 0.9604 \) (toårs sannsynligheten for overskridelse av \( x_k \) er da \( 1-0.9604=0.0396 \)).

Når referanseperioden utvides til \( n \) år, er sannsynligheten for ikke-overskridelse \( 0.98^n \), og sannsynligheten for overskridelse \( 1-0.98^n \) tilsvarende.

Returperiode

Returperioden er et frekvensmål som ofte brukes for å uttrykke sannsynligheten for en hendelse. Som navnet antyder, spesifiserer returperioden den forventede ventetiden mellom (returen av) en hendelse. En hendelse kan defineres som overskridelsen av den karakteristiske verdien som beskrevet ovenfor. Eller omvendt: Hvor ofte vil vi observere en hendelse med en årlig sannsynlighet på \( 1-F_{X,T=1}^{max}(x_k)=0.02 \)?

Den tilsvarende returperioden er:

--------------

Snølast

Introduksjon

I Sentral- og Nord-Europa er snølast ofte den dominerende lasten på bygningstak. Å modellere snølast på en realistisk måte er en komplisert oppgave. Snøfall er et komplekst fenomen som påvirkes av mange parametere. I tillegg blir snølastmønsteret på et tak omfordelt på grunn av faktorer som takets helling eller vind. Heldigvis er det verken nødvendig eller hensiktsmessig å fokusere på for mange detaljer ved prosjektering av bygninger og andre konstruksjoner. Vi er i stedet mer interessert i å identifisere ekstreme lasteeffekter. Konstruksjonsstandarder som Eurokoden angir (i form av tabeller i de nasjonale tilleggene) de karakteristiske verdiene for snølast på bakken for forskjellige geografiske steder. Disse verdiene endres deretter med faktorer som tar hensyn til noen av de mest relevante påvirkningsfaktorene for å beregne den karakteristiske snølasten på bygninger.

Snølast på bakken

Beregningen av snølast på en konstruksjon tar utgangspunkt i snølasten på bakken. Symbol: \( s_{k,0} \). Det uttrykkes i \( \text{kN/m}^2 \). Snølasten på bakken er basert på innsamlede data. Den typiske observasjonsperioden er 100 år. \( s_{k,0} \) er angitt i det nasjonale tillegget (NA) for ulike geografiske regioner. Den karakteristiske verdien representerer 98 %-fraktilen av den årlige ekstremverdifordelingen (50 års returperiode). 98 %-fraktilverdien beregnes ofte ved å anta en Gumbel Type I minste kvadraters tilpasning av de observerte dataene. Dette vises i Figur 87.

Høydekorrigering

Snøfall øker vanligvis med høyden over havet. I det norske nasjonale tillegget i Eurokoden gis følgende lineære skalering for å estimere snølasten på en bestemt høyde:

Merk at \( n \) alltid avrundes opp til nærmeste heltall. Skaleringen brukes for \( H > H_g \). \( H_g \) er referansehøyden opp til hvor \( s_{k,0} \) kan brukes som den karakteristiske verdien for snø på bakken ved bygningens plassering. \( s_k \) toppes noen ganger med en maksimumsverdi \( s_{k,maks} \).

Alle disse verdiene er tabellført i Eurokodene for ulike geografiske regioner – i Norge fordelt på kommuner.

Snølast på bygninger

Snø kan legge seg på tak i mange forskjellige mønstre. Mønsteret avhenger av vindeksponering, men også av:

• Takets form
• Termiske egenskaper
• Overflateruhet
• Omgivende terreng og bygninger

Eurokoden EN1991 gir følgende forenklede formel for å ta hensyn til disse faktorene:

Hvor:

• \( s_k \): Karakteristisk snølast på bakken.
• \( \mu_i \): Snøformkoeffisient. Denne avhenger av takets helling, se Figur 92. Denne faktoren utdypes nærmere nedenfor.
• \( C_e \): Eksponeringskoeffisient. Denne koeffisienten avhenger av den omkringliggende topografien og tar hensyn til snø som fortrenges av vind. Topografien deles inn i tre kategorier: (a) Vindswept; (b) Normal; (c) Skjermet. Det kreves også vurdering av fremtidig utvikling i området der konstruksjonen skal oppføres.
• \( C_t \): Termisk koeffisient. Denne settes ofte til 1 som en konservativ antakelse. Den tar hensyn til snø som kan smelte på grunn av varme som overføres fra bygningen.

Snø fordeler seg forskjellig avhengig av takets form. Generelt skilles det mellom udriftet og driftet snø. Udiftet beskriver situasjonen der snø er jevnt fordelt på taket, kun påvirket av gravitasjonens effekt på snøens omfordeling. Driftet beskriver situasjonen der snø transporteres fra ett sted til et annet, for eksempel på grunn av vind.

Enkelt hellende tak

For enkelt hellende tak skilles det ikke mellom driftet og udriftet snø. Mønsteret vises i Figur 93.

Dobbelt hellende tak

For dobbelt hellende tak skilles det mellom driftet og udriftet. Mønsteret vises i Figur 94.

Flerspennede tak

To situasjoner vurderes for flerspennede tak, se Figur 95. Merk at for V-formede tak gjelder koeffisienten \( \mu_2(\bar{\alpha}) \), hvor \( \bar{\alpha} \) er gjennomsnittsvinkelen mellom de to tilstøtende hellende takene.

Tak nær og inntil høyere konstruksjoner (driftet tilfelle)

Snø kan drive fra et tilstøtende høyere tak. Snøakkumuleringen på det lavere taket anses å være et resultat av snø som glir og vind:

Snø som glir fra det øvre taket, \( \mu_s(\alpha) \) (se Clause 5.3.6 i EN1991-1-3). Akkumulering indusert av vind, \( \mu_w \):

Hvor \( \gamma \) er snøens vekt-tetthet. Det kan antas å være \( 2\text{kN/m}^3 \). Lengden \( l_s \) kan estimeres som \( l_s = 2h \). Begrensninger er dekket i det nasjonale tillegget.

Vindlaster

Introduksjon

Vind forstås generelt som bevegelse av luft i atmosfæren. Vind oppstår som følge av:

• Store atmosfæriske sirkulasjoner forårsaket av ulik oppvarming ved ekvator og polområdene.
• Mer lokale fenomener på grunn av tilsvarende lokale temperaturgradienter, spesielt ved grenseflater mellom store land- og vannmasser eller i fjellområder.
• Den fysiske formen på overflaten i forskjellige skalaer, fra hav, innsjøer, sletter, fjellkjeder og daler, til terrengruhet og bygninger.

Vind blir ofte referert til etter styrke (hastighet) og retningen vinden blåser fra. Vindhastigheten ved et punkt på jordens overflate er svært tidsvarierende. Korte støt på noen få sekunder kalles vindkast, mellomlange perioder (rundt ett minutt) med høy vindhastighet kalles byger. Mellomlange til lange vindhendelser kalles, avhengig av gjennomsnittsstyrke, bris, kuling, storm. Svært sterke stormer av katastrofal intensitet kalles generelt sykloner, men også orkaner eller tyfoner.

Se på værutviklingen over tid (bare spill av videoen). Klare mønstre er synlige sammen med en sterk tilfeldig/kaotisk komponent.

En interessant video som illustrerer effekten av terrenget på lokale vindfenomener.

Definisjon og karakterisering av vind som strukturell last

For å karakterisere relevant vindlasteffekt på konstruksjoner er vindhastigheten bare en av mange relevante faktorer. Terrengets form og ruhet er viktig, da dette kan forstyrre den laminære luftstrømmen. Formen på konstruksjonen, som fungerer som en hindring i vindstrømmen, bestemmer trykket vinden induserer på strukturen. Trykkmønsteret på strukturens overflate må deretter overføres til en strukturell respons som enten regnes som statisk eller dynamisk. En skjematisk fremstilling av vindlastmodellering vises i Figur 99.

Vindhastighet

I Eurokodene (EN1991-1-4) er forskjellige geografiske steder knyttet til en tilsvarende referansevindhastighet, \( v_{b,0} \), definert som:

Referansevindhastighetene er tabellført i det nasjonale tillegget til EN1991-1-4, for eksempel noen verdier for Norge:

Grunnvindhastighet: Grunnvindhastigheten \( v_b \) beregnes basert på referansevindhastigheten \( v_{b,0} \) som:

\( c_{dir} \) er en mulig korrekturfaktor for vindretning, \( c_{season} \) er en korrekturfaktor for ulike årstider, og \( c_{prob} \) er en korrekturfaktor hvis en annen dimensjoneringsperiode enn 50 år brukes i designgrunnlaget for den aktuelle konstruksjonen. Standardverdien for alle korrekturfaktorer er 1,0, og denne verdien skal brukes med mindre svært gode argumenter kan gis for å endre standardverdien.

Vindhastigheten øker med høyden over terrenget på grunn av friksjon. Fordelingen over høyden på bygningen avhenger av terrengets karakteristikk.

Vindtrykk.

Vind virker på overflater som trykk. Dette trykket er alltid rettet vinkelrett på overflaten! Trykket \( p_w \) er proporsjonalt med kvadratet av vindhastigheten \( v_w^2 \) og for en plan overflate beregnes det som:

, hvor \( \rho \) er luftens tetthet.

Dette er vindhastighetstrykket. Den relevante vindhastigheten for trykkberegning er relatert til grunnvindhastigheten. Lokalt terreng og turbulens må imidlertid vurderes for å gi et realistisk estimat for en bestemt konstruksjon. I Eurokodene foreslås to alternativer: en detaljert metode som vurderer mange spesifikke faktorer, og en forenklet metode som bruker grafer for å estimere topphastighetstrykket. I dette kurset bruker vi den forenklede metoden som introduseres nedenfor.

Forenklet estimering av topphastighetstrykk

Estimeringen av topphastighetstrykket baserer seg på grunnvindhastigheten \( v_b \) og en graf som beskriver sammenhengen mellom terrengegenskaper, høyden \( z \) til en bygning og det tilsvarende topphastighetstrykket \( p_{p0}(z) \). Terrengegenskapene klassifiseres i fem kategorier, se Figur 103.

Topphastighetstrykket tilsvarer trykket på en standard overflate som står vinkelrett på vindretningen. Trykkfordelingen på bygningen estimeres basert på topphastighetstrykket og en trykkkoeffisient som avhenger av bygningens form og orientering mot vinden.

The learning goal of today is:

• develop a basic understanding about safety and structural reliability
• be able to compute the failure probability of a simple structure (with simplifying assumptions)
• be able to connect reliability and the safety factor concept form structural design codes.

Reading / Homework:

• This lecture notes
• Recapture Per Kr. Larsen - Konstruksjonsteknikk: Chapters 1 + 2
• Jörg Schneider - Safety and Reliability of Structures: Chap. 4.31 – 4.33
• Designers' guide to Eurocode 0

Safety - a requirement for structures

The built environment, i.e. infrastructural elements, industrial buildings and facilities as well as residential buildings, constitutes the basis for our economy and the continuous development of our society. In this respect structures play an important role, since the primary purpose of structures is to provide the functionality of the built environment. That structures are safe is an important premise for the success of our society, and structural safety is clearly a basic requirement of the society.

Correspondingly, structural safety is a requirement that is defined in legislation on several hierarchical levels – structures have to be safe by law.

Several formal definitions of safety exist and accordingly, safety is used as absolute or relative characteristic in our regular language use. (“It is safe to use air traffic” is an absolute statement; “Air traffic is safer as car traffic” is a relative statement). In the context of structural engineering the following definition can be found in ISO 2394:2015 1:

1: ISO 2394:2015: General principles on reliability for structures.

Structural safety: “ability of a structure or structural member to avoid exceedance of ultimate limit states 2, (…), with a specified level of reliability, during a specified period of time.”}

2: The exceedance of an ultimate limit states corresponds e.g. to structural failure.

Structural reliability per time unit is defined as the complement of probability of structural failure per time unit; i.e. structural safety is an absolute description for situations where the probability of failure per time unit is sufficiently low.

Attaining structural safety:

Structural engineers are responsible that structures are safe. Structural engineers therefore make proper decisions during the entire life-cycle of the structure. The typical phases of the life-cycle of civil engineering infrastructure are illustrated in Figure 104.

For decision making, structural engineers take into account information e.g. about:

• Traffic volume
• Loads
• Resistances (material, soil, ...)
• Degradation processes
• Service life
• Manufacturing costs
• Execution costs
• Decommissioning costs

As a matter of fact, the information that has to be integrated is associated with uncertainties . Thus, the uncertainties have to be taken into account in the decisions that are made in the life-cycle of the structure.

The activities and the decision making of structural engineers are very well illustrated in the Swiss structural standard SIA 260 with the graph presented in figure 105. Here, a structure is defined by its service criteria and the environment it is embedded into. The structure then has the following phases during its life cycle:

• design
• execution
• use
• conservation
• decommissioning

In this course we will focus on the design phase of the structure. In figure 105 the design phase is further subdivided into "conceptual design", "structural analysis" and "dimensioning".

In conceptual design a structural concept is developed that is best to meet the requirements to the structure, i.e. in regard to the intended societal activity that should be supported by the structure these are requirements in regard to

• space and shelter created by the structure,
• requirements on limitation of vibrations and deflections (serviceability),
• requirement on the durability of the structure and the intended service-life.
• safety, i.e. preventing damage, loss of functionality, damage to the environment and to personnel,
• cost efficiency.

In the conceptional design phase, major decision are made in regard to principle structural layouts and material use. Build-ability is always a very important aspect here. Structural analysis is intended to create a link between the external loads on the structure and the corresponding structural response in terms of stresses, deformations and deterioration. Mechanical models (analytical and numerical) are utilized and structural analysis is generally performed at a rather high level of modelling detail.

For structural dimensioning the structural dimensions are chosen such that the structure complies with some specified limit states regarding safety and serviceability. The compliance is demonstrated for several load scenarios ("design situations").

In general it can be observed that the effort and level of detail is not consistently distributed among the different steps of structural design: Whereas a lot of attention is attributed to structural analysis, rather rudimentary criteria are used in dimensioning.

Structural Design for Safety

Safety means that the probability of failure has to be sufficietly low. What sufficiently low means is not an easy question and this question will be further adressed in the lecture TKT4196 - Prosjektering Sikkerhetsforhold. Here, we leave the topic and just define that sufficiently low failure probability for a structure means \( \Pr(F)=10^{-5} \) per year. For structural dimensioning, i.e. when we have to decide how large/strong a cross section has to be, this value can be used as a design criterion:

Using a probability as a criterion requires some probabilistic computations. This might be a bit unfamilar for some students. In order to make it easier to comprehend the basic concepts of the required steps are introduced alongside the introductory example: Snow on the roof.

Snow on the roof revisited:

In the first lecture an example of the design of a roof exposed to snow load was introduced (please refer to Lecture 1 for details). The following main steps have been indicated:

1. Definition of context and requirements
2. Conceptual Design
3. Simplifications and assumptions
4. Mechanical assessment

In the example, the secondary roof beams have been represented as simple supported beams that are loaded by \( q_s=s \cdot a \)

The last step Mechanical Assessment revealed the expession for the moment capacity of the rectangular cross section \( M_{max, in} \):

, where \( b \) is the width, \( h \) is the height, \( f_{max,timber} \) is the maximum bending stress capacity of the timber.

The corresponding load effect was also expessed in terms of the maximum bending moment \( M_{load,max} \) is found at \( x=l/2 \):

The height of the beam \( h \) could be defined as the design variable, i.e. the variable we choose in order to get a safe structure.

Failure \( F \) is defined as

If we would know all variables of the problem it would be straight forward to identify a design variable \( h \) that represents a safe structure as

The corresponding direct relationship to the minimum height can be expressed as a function of the timber strength and the snow load, (see first lecture).

Random Variables:

You remember that we came so far in the first lecture. We discussed the character of the different variables above and we distinguished whether the variables are controllable or not. We concluded that the dimension \( l \), \( b \), and \( h \) can be controlled and the variables \( \sigma_{max,timber} = f_{max,timber} \) and \( s \) cannot be controlled, i.e. the uncontrollable variables are uncertain or random. We have also seen in Lecture 1/2, that magnitudes for these variables can be found in design standards in terms of characteristic values. However, in order to capture the uncertain or random character of these variables they have to be represented as random variables.

In general, it is distinguished between discrete and continuous random variables. In this course, only continuous random variables are adressed. A continuous random variable \( X \) is described by it's probability density function \( f_X(x) \). The probability density describes the probability that a realisation of \( X \) is in the intervall \( [x,x+\Delta x] \) for very small \( \Delta x \), i.e. \( f_X(x)=\Pr(x \leq X < \Delta x) \). Alternatively, the random variable can be expressed with its cumulative probability distribution function \( F_X(x)=\int_{-\infty}^x f_X(x)dx \). Note, that \( F_X(x) \) is corresponding to the non-exeedence probability, as \( F_X(x)=\Pr(X \leq x) \).

Different types of probability distributions exist and they can be derived based on the properties of the random process they shall describe. The normal distribution is just one of many and it results from processes that follow the central limit theorem.

\( \mu_X \) and \( \sigma_X \) are the mean value and the standard deviation of \( X \), and \( \Phi \) is the standard normal distribution function.

Although there are better distribution types for representing the timber bending strength \( f_{max,timber} \) and the snow load \( s \), we restrict our self to use the normal distribution for the sake of simplicity.

In order to assess the failure probability, the failure event has to be defined as a function of all the variables. In this example this means that failure \( F \) is defined as

Limit State and Safety Margin: The term in the bracket above, i.e. that defines failure \( F \) is called a limit state and the so called general Safety Margin \( SM \) can be formulated as a difference between \( R \) the resistance and \( D \) the load effect (here \( R=M_{max, in} \) and \( D=M_{load,max} \)):

Failure can be expressed as \( F=\{SM < 0\} \) and the failure probability as \( \Pr(F)=\Pr(SM < 0) \).

For the current example it is now seen that the failure probability can be straightforwardly computed if it is assumed that the snow load \( s \) and the timber strength \( f_{max,timber} \) can be represented as independent normal distributions with mean values \( \mu_{f_{max,timber}} \), \( \mu_{s} \) and standard deviations \( \sigma_{f_{max,timber}} \), \( \sigma_{s} \). Then the following general observations that nicely apply to this problem will help:

1. If a random variable \( A \) has a mean value \( \mu_A \) and a standard deviation \( \sigma_A \), the random variable \( B=cA \) has a mean value \( c \mu_A \) and a standard deviation \( c \sigma_A \), where \( c \) is a constant.
2. If \( X \) and \( Y \) are normal distributed random variables then \( Z=X+Y \) is also a normal distribution with a mean value \( \mu_Z=\mu_X+\mu_Y \) and a standard deviation \( \sigma_Z=\sqrt{ \sigma_X^2+\sigma_Y^2} \).

Applying 1):

Applying 2):

Note that \( SM \) is normal distributed.

Failure Probability is then:

Reliability Index: The reliability index is often used and is defined as:

such that

Example - Rod loaded in tension 1

Consider the steel rod as illustrated in Figure 108. It is loaded by the force \( D \) and has yield stress of \( F_y \). The cross section area of the rod is \( A=10\; mm^2 \).

Both, the load \( D \) and the yield stress \( F_y \) are uncertain and represented by independent normal distributed random variables:

The probability of failure of the rod has to be computed.

Solution:

Resistance:

Safety margin \( M \) (in kN):

Reliability index:

Failure probability:

Note \( \Phi\left(x \right) \) can be obtained e.g. with a look up table.

End of Example - Rod loaded in tension 1.

Example - Rod loaded in tension 2

We consider the same rod with the same material property and loading as introduced above. This time we want to design the rod, i.e. choose the cross section area, such that it complies with a specified reliability criterion of \( \beta_{target}=4 \) or correspondingly \( \Pr(F)_{target}=3.17\cdot 10^{-5} \).

Solution:

End of Example - Rod loaded in tension 2.

The computation of the failure probability and the reliability index can be demanding for practical routine structural design. It would be desirable to have design criteria that guarantee sufficient safety and at the same time do not require probabilistic analysis, i.e. only require deterministic calculus.

Considering one specific design case, it would be straight forward to set up a simple deterministic design concept by introducing a so called global safety factor \( SF \).

Example - Rod loaded in tension 3

Consider again the example with the steel rod from above. The reliability requirement was given as \( \beta_{target}=4 \) and we found out that \( A=15.87\: mm^2 \) did satisfy this safety requirement. Alternative to the reliability calculation we could also define a safety concept that is based on the mean values of the random variables and a global safety factor that is defined as

End of Example - Rod loaded in tension 3.

More general for the problem \( M=R-D \) with normal distributed variables with known coefficients of variation \( cov_R \) and \( cov_D \), a direct correspondence between the global safety factor and the reliability index can be established:

A one-to-one correspondence between a global safety factor and a reliability requirement can be established for a specific case. However, this is not sufficient for a safety concept of a design code, where a large number of different designs situations has to be covered.

Partial factor safety concept

Design values:

As will be seen in an example later on, it is of advantage to put a safety factor on each variable in the limit state equation and introduce a design criterion based on so called design values of the corresponding variables.

We illustrate the concept again based on the simple problem \( M=R-D \) and the requirement:

With \( \alpha_{R}=\frac{\sigma_{R}}{\sqrt{\sigma_{R}^2+\sigma_D^2}} \) and \( \alpha_{D}=\frac{\sigma_D}{\sqrt{\sigma_{R}^2+\sigma_D^2}} \).

Sorting \( R \)-parameters and \( D \)-parameters leads to

\( r_d \) and \( d_d \) are the so-called design values.

The design values are the values that should be used in the design in order to obtain a design solutions that complies with \( \beta_{target} \).

Example - Rod loaded in tension 4

For the rod example we obtain e.g.:

Test:

End of Example - Rod loaded in tension 4.

Characteristic values:

In structural design codes as the Eurocodes, design values are obtained based on characteristic values. Characteristic values are defined as fractile or percentile values of the variables distribution functions. They are defined in the domain that is most significant for possible failure events, i.e. for variables that are related to the resistance, characteristic values are defined in the lower domain, for variables that are related to the load they are defined in the upper domain.

In the Eurocode the following general conventions are valid:

In the following the equation for the design value and for the characteristic value for the normal sitribution are summarised. (generally for the random variable \( Y \))

Note that \( \Phi^{-1}(0.05)=-1.64 \) and \( \Phi^{-1}(0.98)=2.05 \).

Partial safety factor: In order to compute the design value based on the characteristic value the so-called partial safety factor is introduced that is defined as:

For resistance variables \( R \):

For resistance variables \( D \):

Example - Rod loaded in tension 5

For the rod example the characteristic values and the partial safety factors are computed as follows:

End of Example - Rod loaded in tension 5.

Example - Beam with two loads

The simply supported beam in Figure 110 is to be designed for a specified target reliability index of \( \beta_t=4.2 \). The basic random variables that represent the situation are given below.

The limit state function for bending moment at mid-span is:

The corresponding reliability index is:

Reliability based design:

The beam cross-section \( W \) can be chosen such that the reliability index of the beam corresponds to the target reliability, i.e. \( \beta=\beta_t \). This corresponds to the so-called reliability based design. E.g. for \( l=6 \) m, the section elastic modulus giving \( \beta=\beta_t \) is found to be \( W=3.01\cdot 10^5 \). The cross-section elastic modulus is plotted against the beam length in Figure 111.

Partial factor design format: Although modern structural design codes (like Eurocodes) allow reliability based design, they propose simpler design procedures in the semi-probabilistic design format, where design equations are written in the load and resistance factor design format (LRFD). This format is referred to as semi-probabilistic, since random variables (represented by distribution functions) are reduced to design values, which are obtained from characteristic values as \( r_d=r_k/\gamma_R \) (for resistance) and \( s_d=s_k \cdot \gamma_S \) (for actions). The format is simpler, since the designer can check the design just by comparing design values, without the necessity of using reliability analyses. The design equation of the beam above is:

where:

• \( f_{m,d}=\dfrac{f_{m,k}}{\gamma_R} \); \( g_{d}=g_k\gamma_G \) and \( q_{d}=q_k\gamma_Q \) are the \textbf{design values};
• \( f_{m,k}=F_{F_m}^{-1}(k_{F_m}) \); \( g_{k}=F_{G}^{-1}(k_{G}) \) and \( q_{k}=F_{Q}^{-1}(k_{Q}) \) are the \_characteristic values_ corresponding to the characteristic fractiles \( k_{F_m} \), \( k_{G} \) and \( k_{Q} \), which are defined arbitrarily and
• \( \gamma_G \); \( \gamma_R \) and \( \gamma_Q \) are the partial safety factors (p.s.f.).

The minimum cross-section plastic modulus satisfying the design equation is:

Calibration of the partial factors for one given span (e.g. 6 m):

The p.s.f. need to be calibrated so that the design given with &W_{min}& fulfills a target safety. This corresponds to answer the question which values of the p.s.f. provide a design (i.e. \( W \)) associated with the reliability index \( \beta=\beta_t \)}?

The limit state function is rewritten with \( W=W_{min} \):

The beta index is evaluated correspondingly:

where it is clear that the reliability of the design depends on the partial safety factors, i.e. \( \beta=\beta(\gamma_R,\gamma_G,\gamma_Q) \).

The partial safety factors are determined based on the sensitivity factors \( \alpha_{F_m},\alpha_G,\alpha_Q \):

Introducing \( W=3.01\cdot 10^5\:mm^3 \) that was found for \( l=6 \) m, the sensitivity factors are \( (\alpha_{F_m}=-0.699,\alpha_Q=0.698,\alpha_G=0.157) \). The corresponding partial safety factors are:

The calibrated p.s.f. obtained above result in a reliability \( \beta\ne\beta_t \), for a beam span \( l\ne 6 \) m, cf. Figure 112. This is due to the fact that the fraction of the external moment induced by \( G \) (or \( Q \)) changes with the beam span. The reliability for \( l=6 \) m is equal to the target, since that was the condition imposed for calibration. The reliability index is therefore dependent on the beam span (or equivalently the ratio between the moments induced by \( G \) and \( Q \)), i.e. \( \beta=\beta(\gamma_R,\gamma_G,\gamma_Q,l) \).

In order to get a constant reliability, i.e. independent of the geometry, a new set of p.s.f should be calibrated for each beam length, see Figure 113.

This is not practical and not implemented in design codes. The problem is solved by finding the set of p.s.f which ensures the reliability to be as homogeneous as possible over a range of possible scenarios. This set can be obtained by solving the minimization problem:

The set of p.s.f obtained is \( (\gamma_R^*=1.08,\gamma_G^*=1.38,\gamma_Q^*=1.35) \). The corresponding reliability is plotted in Figure 114.

Global Safety Factor: An alternative (and older) format of semi-probabilistic design equations makes use of the global safety factor (\( SF \)). The design equation with the global safety factor applied on the mean values reads:

where the numerator is the mean value of the moment resistance and the denominator is the mean value of the action induced moment.

As before, \( SF \) can be calibrated so that the design equation provides a design with the target level of risk. The limit state function is rewritten with \( W= W_{min} \):

Consequently the reliability index \( \beta \) is evaluated as:

where it is clear that the reliability of the design is depending on the global safety factor, i.e. \( \beta=\beta(SF) \).

The global safety factor is calibrated by setting \( \beta(SF)\equiv \beta_t \). As an example, considering \( l=6 \) m, the calibrated global safety factor is found with numerical minimisation to be \( SF^*=2.51 \), giving \( W=300610 \) mm \( ^3 \).

As before, the design performed with the calibrated \( SF \) for \( l=6 \) m results in a different reliability for different spans. The \( SF \) can be calibrated so to give a reliability as homogeneous as possible over the different design scenarios. Therefore, as previously, the \( SF \) can be calibrated by solving a minimization problem.

The optimized \( SF \) obtained is \( SF^*=2.20 \), see Figure 115.

Comments and observations:

It can be observed from Figure 114 and Figure 115 that, by changing the \( SF \) the curve is only shifted up and down while the three p.s.f. shift and distort the curve (note that the vertical axes of both figures have different scale). This leads to higher levels of optimization (i.e. a flatter curve) with p.s.f.. The values of \( \sum_{i=1}^n\left(\beta_t-\beta_i\right)^2 \) show clearly this differences in the two formats. In fact, after optimization \( \sum_{i=1}^n\left(\beta_t-\beta_i\right)^2=0.026 \) for the p.s.f. format and \( \sum_{i=1}^n\left(\beta_t-\beta_i\right)^2=1.88 \) for the global safety factor format. The load and resistance factor design method offers therefore a more homogenized level of safety.

The learning goal of today is:

• develop basic competence in applying the load combination rules of the EUROCODES

Reading / Homework:

• This lecture notes
• Get basic orientation about EN 1990
• Designers' guide to Eurocode 0

Principles

In the Eurocodes a semi-probabilistic design method is introduced through partial factor design that should generally be applied as default design method for common design situations. The partial factor design format is formulated such that it facilitates the identification of acceptable and feasible design solutions concerning new structures. The partial factor design format comprises:

• consequence class categorization (see EN1990 Annex B);
• design situations (see ENs 1990 to 1999);
• design equations (see ENs 1990 to 1999);
• design values (as determined according EN1990, section 6).

Design equations can be formulated for failure of individual cross sections of a structure or for failure of several cross sections and/or components.

Implementation

The principle form of the design equation is given as

, where \( R_d \) is the design value for the load bearing capacity and \( E_d \) is the design value for the action effect.

The design value of a basic variable \( Y \) is defined as the multiplication or division of a corresponding partial safety factor \( \gamma_Y \) and the characteristic value \( Y_k \). Accordingly, Equation \eqref{eq:design} can be written as

The characteristic value \( Y_k \) is taken as a specified \( p- \) fractile value from the statistical distribution \( F_Y \) that is chosen to represent the basic variable, as

where \( F_Y \) is the cumulative probability distribution function of the basic variable \( Y \).

Typical values for \( p \) are:

• resistance related variables: \( p=0.05 \);
• permanent actions: \( p=0.5 \);
• time-variable actions: \( p=0.98 \) (referring to the distribution of the yearly extreme values).

Load Combination

The design value for the action effect \( E_d \) is generally obtained by combining action effects from different sources that are relevant for the structure at hand. Each critical cross section is thereby considered separately and the largest load effect taken from different combination options is taken as relevant.

When combining action effects it is distinguished between permanent actions \( G_j \) and variable actions \( Q_i \).

For variable actions the so-called load combination factor \( \psi_0 \) is introduced that takes into account that extremes of variable actions do not happen simultaneously.

Load combination factors for different variable actions are given in EN1990, Table NA.A1.1:

The load combination rules and the specification of the partial safety factors for permanent and variable load effects are then given in EN 1990 Table NA.A1.2(B):

The table specifies partial factors for actions with favorable and unfavourable effect. It also distinguishes situations where the permanent load is dominant (Eq.6.10a) and where one of the variable loads is dominant (Eq.6.10a). Correspondingly for a load combination problem with \( n \) (unfavourable) variable loads, \( n+1 \) load combinations have to be evaluated, whereas the one that gives the largest absolute load effect is considered as the relevant.

Example 1

Solution:

The combination of actions for an ultimate limit state is covered in the Chapter 6 of NS EN 1990:2002. Given the characteristic values of the acting loads, the design value of the individual actions and their combined effect is to be assessed. It is assumed that the clause 6.1(2) is satisfied, i.e. 'Actions that cannot occur simultaneously, for example due to physical reasons, should not be considered together in combination’.

Permanent, variable and accidental loads are to be combined. Permanent actions that yield unfavourable effects are given by their upper design values. Permanent actions that yield favourable effects are given by their lower design values. Variable actions are categorized as either leading or accompanying actions. The leading action is to be assessed with its characteristic value \( Q_{k,1} \). The combination value \( \psi_{0,i} Q_{k,i} \) is to be used for the accompanying actions. When it is not trivial to identify this categorization, each variable is to be sequentially considered as the leading one.

For the ultimate limit states, NS EN 1990:2002 allows to use the less favourable of the expressions in Eqs. (6.10a) and (6.10b). In Eq. (6.10a), all the variable actions are assumed to be accompanying actions, i.e. the combination value is used for all the variable actions. In Eq. (6.10b), one variable action is identified as the leading action and a reduction factor \( \xi \) is applied to the unfavourable permanent actions (\( \xi = 0.89 \)). Generally speaking, it might be needed to try different combinations of leading and accompanying variable loads to find out what is the most unfavourable combination.

In this example, the loads are all unfavourable regarding reactions in A and C and bending moment in B. The design load is calculated according to Eqs. (6.10a) and (6.10b) below.

Application of 6.10a:

According to Table NA.A1.1 of Norwegian National Annex of NS EN 1990:2002, \( \psi_0=0 \) for imposed loads in roofs and \( \psi_0=0.7 \) for snow loading (in Norway).

Application of 6.10b:

Since there are two variable actions, two load combinations are tested in order to find the design load combination. First, it is assumed that the life-load (nyttelast) is leading and afterwards, the case with the snow load (snølast) leading is assessed.

Therefore, the design load for the reactions at A and B and moment at B is \( 11.85 kN/m \), given by Eq. 6.10b with the life-load \( Q \) leading.

Equilibrium limit state

So far we have introduced the procedure for combining loads for ultimate limit states where the failure/rupture of a cross section is the event of interest. The limit state is the formulated by comparing the combined load with the load bearing resistance of the considered cross section.

A situation that often also becomes relevant is the so-called equilibrium limit state. Here, the loss of static equilibrium is represented by the limit state. The corresponding load combination rules are found in EN 1990 Table NA.A1.2(A):

Example 2

Consider the beam in Figure 121 loaded with the self-weight \( G \) and the variable life-load \( Q \). The beam is part of a balcony in a residential building.

The characteristic values of the actions are \( g_k=2 \) kN/m; \( q_k=4 \) kN/m.

1. What is the maximum ratio \( b/a \) that verifies the equilibrium limit state? Assume that the supports cannot provide tension reactions.

2. Consider \( a=10 \) m and \( b=4.6 \) m. Calculate the design bending moment \( M_{ED} \) acting on the beam.

Solution

1:

The verification of the limit states implies that design's probability of not satisfying them is small enough. According to NS EN 1990:2002, the following limit states are to be considered for the design of a structure:

a) EQU: Loss of static equilibrium of the structure or any part of it considered as a rigid body, where:

• minor variations in the value or the spatial distribution of actions from a single source are

significant, and

• the strengths of construction materials or ground are generally not governing;

b) STR: Internal failure or excessive deformation of the structure or structural members, including footings, piles, basement walls, etc., where the strength of construction materials of the structure governs;

c) GEO: Failure or excessive deformation of the ground where the strength of soil or rock are significant in providing resistance;

d) FAT: Fatigue failure of the structure or structural members.

Clause 6.4.3.1(4)P is to be considered for the load combination of an EQU limit state: Where the results of a verification may be very sensitive to variations of the magnitude of a permanent action from place to place in the structure, the unfavourable and the favourable parts of this action shall be considered as individual actions.

Therefore, the loads can be divided to consider their design values under the favourable or unfavourable assumptions. Taking this into account, the acting loads are divided as in EN 1990 Table NA.A1.2(A), where the \( \gamma \)-factors are given for equilibrium design value actions.

The characteristic values of the self-weight \( G \) and the imposed load \( Q \) are \( g_k=2 \) kN/m and \( q_k=4 \) kN/m, respectively. The design load is then calculated separately for both spans:

The equilibrium is to be checked with the load configuration in Figure 124, taking into account that the supports do not take any upward force. Mathematically, this translates to: equilibrium is not verified when the reaction at the support A is negative. The reactions at the supports A and B are directly determined by the equilibrium of forces and moments.

A parameter \( k\in \rm I\!R^+ \) is introduced, defined as \( k=b/a \). Given the design loads, the equilibrium is verified depending on \( k \). The case in which the EQU limit state is just verified is related to a ratio \( k=k_{lim} \). When the cantilever span \( b \) becomes longer than a limit value (\( b\geq k_{lim}a \)), equilibrium is only satisfied with a negative value of \( R_A \), i.e. holding the beam down at the support A.

The load effects, i.e. the shear forces and bending moments along the beam, are computed applying equilibrium with the external actions. In Figure 125 (a) and (b), the shear and bending diagrams are illustrated for \( k < k_{lim} \) and \( k=k_{lim} \), respectively.

Substituting \( b=ka \) in Eq.\eqref{eq:eq1} results in:

Setting \( R_A=0 \) yields:

Now is direct to isolate \( k_{lim} \) to just satisfy the EQU limit state:

Therefore, \( b \) must be less or equal than \( 0.46a \) in order to satisfy EQU. In Figure 126, it can be observed the relation between the reaction at the support A and \( k \).

2:

Setting \( a=10 \) m and \( b=4.6 \) m the EQU limit state is verified. The bending moment at the support B results in:

In order to calculate the design moment \( M_{Ed} \), the STR limit state is to be verified as well. The maximum negative and positive bending moments occur at the support B and at an intermediate point C of the Span 1, respectively. \( M_{Ed} \) is the maximum (in absolute value) between both. The design loads of the STR limit state differ from the ones used for the EQU verification. Table NA.A1.2(B) applies for the verification of the STR limit state.

The following should be noticed: Note 3 in Table (NA)A1.2(B) of (NS)EN 1990:2002: The characteristic values of all permanent actions from one source are multiplied by \( \gamma_{G,sup} \) if the total resulting action effect is unfavourable and \( \gamma_{G,inf} \) if the total resulting action effect is favourable. For example, all actions originating from the self weight of the structure may be considered as coming from one source; this also applies if different materials are involved.

Bending moment in B: \( q_a \) and \( q_b \) UNFAVOURABLE.

Eq.(6.10b) provides a more conservative situation. The results are sketched in Figure 127.

Bending moment in C: \( \gamma_{G,sup} \) is applied to the self-weight at both spans.

The design bending moment at an intermediate point of the Span 1 is calculated as follows. The reaction at the support A is calculated by using Eq.\eqref{eq:eq1}. The bending moment at a distance \( x \) from the support A is given by:

The maximum moment is found setting the derivative of Eq.\eqref{eq:eq11} to zero:

The highest moment is found for the load combination given by Eq.(6.10b). For this load combination, \( R_A \) results in 39.07 kN. The maximum moment \( M_{C,Ed} \) happens at a distance \( x= 4.7 \) m, and yields \( M_{C,Ed}=M(4.7 \text{m})=91.94 \) kNm. The results are sketched in Figure 128.

Therefore, the design bending moment of the beam is \( M_{Ed}=\max\{\vert M_{B,Ed}\vert,\vert M_{C,Ed} \vert\}=91.94 \) kNm.